2018-03-09
76
Вспомним, что по правилу дифференцирования произведения, которое мы доказывали в прошлом семестре: 
= 
. Тогда 
= 
.
Тогда и неопределённые интегралы от этих двух функций совпадают:
= 
.
Но первообразная от производной, это сама функция и есть, т.е.
.
Поэтому = 
.
Пример. Вычислить 
.
Решение. Если обозначить 
, 
, то при переходе к 
степенной понизится степень, в данном случае она вообще перейдёт в 1. А вот для второго множителя переходим к первообразной, но там не усложняется, остаётся точно так же как и было, 
. Поэтому на следующем шаге интеграл содержит вообще не два множителя, а один!
Составим таблицу:
|
| 
|
|
|
= 
, тогда получаем ответ: 
.
А есть такие случаи, когда функция состоит не из 2 множителей, а всего из одного, но мы ведь всё равно можем считать, что второй множитель есть, только он равен 1.
Пример. 
.
| 
|
| 
|
Здесь производная от подынтегральной функции устроена лучше и проще, чем сама функция, но правда, пришлось допустить некоторое незначительное усложнение типа функции при переходе от 
к 
.
= 
= 
= 
.
(ДОК 2)
Выведем формулу вычисления интегралов 
. Обозначим всю функцию через u и применим интегрирование по частям, и при этом формально считаем второй множитель равным 1. Для удобства, временно применим отрицательные степени вместо дробей.
|
|
|
|
= 
= 
=
Теперь можем разбить на две дроби, интеграл от первой сводится к , а второй к 
.
= 
, то есть
, откуда выразим через :
,
вывели «рекурсивную» формулу 
, с помощью которой интеграл такого типа для большей степени сводится к меньшей степени, а значит, все они последовательно сводятся к 
, который равен 
.
