Интегралы, в которых проявляется взаимосвязь иррациональностей и тригонометрических функций

Сейчас мы наичимся интегрировать выражения, содержащие , , или . Эти иррациональности сводятся к тригонометрическим функциям.

Случай 1. .

Замена: (или ).

Рассмотрим замену . На самом деле надо было записать , ведь по идее, для замены надо вводить новую переменную и выражать её через старую. Однако, запомнить здесь вам будет легче именно «обратную» замену в виде .

Далее получается , а корни в этом выражении исчезают так: = = . Таким образом, всё сводится к тригонометрическим функциям.

Пример. Вычислить интеграл .

Здесь , потому что .

Замена . Корень при этом превратится в .

Итак, = = = .

после обратной замены, это .

Можем упростить композицию прямой и обратной тригонометрических функций с помощью чертежа, как это делали недавно. Надо найти косинус того угла, синус которого равен . Подпишем противолежащий катет и гипотенузу, и 2. тогда третья сторона по теореме Пифагора .

Ну а тогда косинус равен .

= = .

Примечание. Этот пример можно было решить и другим методом: подведением под знак дифференциала.

ДОК 6 (Л2). Доказать формулу

С помощью данной замены докажем эту формулу из таблицы интегралов. Сделаем замену , тогда = = = , и обратная замена приводит к .

Случай 2. .

Здесь замена (либо аналогично ).

Подробнее рассмотрим, как и почему исчезает корень квадратный при замене . При этом ,

= = = = = . Таким образом, все корни преобразуются в тригонометрические функции.

Случай 3. .

Замена (либо ). Как действует такая замена.

, = = = = =. .

Итак, корни вида , , могут быть преобразованы к тригонометрическим функциям с помощью замены.

Формулировка этих пунктов в билете: ДОК 7 (Л2).

Доказать, что замены сводят интегралы к рациональной дроби.

а) для интеграла замена

б) для интеграла замена

в) для интеграла замена

Приложение 1. Вопросы на доказательства (для билетов).

ДОК 1 (Л1).

Докажите формулу интегрирования по частям .

ДОК 2 (Л1).

Вывести рекуррентную ф-лу

для вычисления интегралов .

ДОК 3 (Л2).

Доказать, что интеграл вида сводятся к рациональной дроби с помощью замены .

ДОК 4 (Л2).

Доказать, что при замене синус и косинус преобразуются по следующим формулам: , .

ДОК 5 (Л2).

Доказать, что если функция нечётна относительно косинуса, замена сводит интеграл к рациональной дроби, а если то замена сводит интеграл к рациональной дроби.