2018-03-09
88
Если в подынтегральной функции присутствует корень какого-то порядка 
, то есть 
, то замена 
позволяет полностью избавиться от корней в выражении и свести к рациональной дроби.
Из следует 
, 
, то есть как видим, пересчёт дифференциала при замене тоже не добавляет ничего, кроме константы и целой степени от 
.
Рассмотрим сразу более общий случай: если функция содержит несколько корней разного порядка, т.е. 
.
Тогда нужна замена на корень порядка r = НОК (r1,...,rk).
r это наименьшее общее кратное всех порядков, которые там есть.
Именно тогда все корни перейдут в целые степени от . Так, к примеру, если 
, то НОК = 6. Замена: 
, тогда: 
, 
. Каждый корень становится целой степенью от :
= 
,
= 
.
В общем случае степень равна 
, то есть, какого множителя не хватает до наименьшего общего кратного, такая степень от и получится.
Рассмотрим на примере, содержащем 3 разных корня.
Пример Вычислить интеграл 
.
НОК (2,3,5) = 30. Поэтому замена 
.
Тогда 
. Дополняющий множитель до НОК для числа 5 как раз и есть 6, ведь НОК = 30.
Другие корни пересчитываются аналогично:
,
.
Надо ещё пересчитать дифференциал для новой переменной :
.
Теперь подставим всё это в интеграл.
= 
= 
=
= 
= 
, и после обратной замены:
.
Если 
т.е. под корнем некоторое линейное выражение, то решается практически так же, замена 
, где r это тоже наименьшее общее кратное. Более сложная ситуация, когда под корнем разные линейные функции.
Например, 
и 
. Если один корень заменить на t, 
, то 
, тогда 
. Такие будут рассмотрены позже, они решаются с помощью тригонометрических функций.
Если интеграл вида 
(r - целое число), то замена 
сводят к рациональной дроби от t. Докажем этот факт:
(ДОК 3)
Доказать, что интеграл вида сводятся к рациональной дроби с помощью замены .
то есть 
выражено в виде рациональной дроби от , содержащей только целые степени.
Дифференциал тоже выразится в виде рациональной дроби:
= 
=
.
