Методы интегрирования

1 2 3 4 5 6 7

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Приходовский М.А.

Математика - 2 семестр

Курс лекций

Учебное пособие

Для специальностей

Прикладная информатика в экономике»

Информатика и вычислительная техника»

Томск

ТУСУР

2018

Настоящее электронное учебное пособие составлено и скорректировано с учётом реального проведения лекций на ФСУ (профилирующая кафедра АСУ) группах 447-1,2 и 437-1,2,3 весной 2018 года.

Доказательства, которые попадают в билеты, выделены и в тексте обозначением (ДОК1), а в приложении указано, в какой лекции их искать (Л1).

Оглавление по темам

ГЛАВА 1. ИНТЕГРАЛЫ. §1. Определения и основные методы. §2. Интегрирование рациональных дробей. §3. Интегрирование иррациональностей. §4. Интегрирование тригонометрических функций. §5. Интегралы, в которых проявляется взаимосвязь иррациональностей и тригонометрических функций. Приложение (список теор. вопросов)..................................... Литература..................................................................................

5 5 13 18 20 25

Оглавление по номерам лекций

Лекция № 1. 14.02.2018................................................. Лекция № 2. 21.02.2018................................................. Лекция № 3. 28.02.2018................................................. Лекция № 4. 07.03.2018................................................ Лекция № 5. 14.03.2018................................................. Лекция № 6. 21.03.2018................................................. Лекция № 7. 28.03.2018................................................. Лекция № 8. 04.04.2018................................................ Лекция № 9. 11.04.2018................................................ Лекция № 10. 18.04.2018............................................... Лекция № 11. 25.04.2018............................................... Лекция № 12. 02.05.2018............................................... Лекция № 13. 16.05.2018............................................... Лекция № 14. 23.05.2018............................................... Лекция № 15. 30.05.2018............................................... Приложение (список теор. вопросов)............................ Литература.....................................................................

5 17 28

ЛЕКЦИЯ № 1. 14.02.2018

ГЛАВА 1. ИНТЕГРАЛЫ.

Определения и основные методы.

Определение. Если , то называется первообразной от функции .

Свойство 1. Если первообразная, то (для любого ) тоже является первообразной для той же самой функции .

Это легко доказать, действительно, = = .

Таким образом, первообразных бесконечно много, то есть, если поднять или опустить на любую высоту график , снова будет первообразная.

Свойство 2. Если и две различные первообразные функции , то .

Доказывается так: , т.е. .

Определение. Множество всех первообразных от одной и той же функции называется неопределённым интегралом этой функции. Обозначение: .

Свойства линейности.

Замечание.

Для произведения свойство не существует. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть любые 2 простейшие функции, например , . Тогда:

= = , в то же время

= = .

Впрочем, можно даже рассмотреть произвольную, . Тогда ,

= .

Таблица основных интегралов.

()

;

Объяснение причины возникновения модуля в . Функция существует только на правой полуоси, тогда как имеет две ветви, на правой и левой полуоси. Получалось бы противоречие, что производная от несуществующей функции есть на левой полуоси. Функция является чётным продолжением на левую полуось, и именно она там является первообразной для при .