Напряжения в наклонных сечениях при одно- и двухосном напряженных состояниях

Исследование напряженного состояния материала в точке сводится к нахождению напряжений, возникающих на наклон­ных площадках, при известных напряжениях на гранях выде­ленного элемента. Выделим элемент бруса (рис. 2.7). Пусть по двум противоположным граням возникают нормальные напря­жения σ, а остальные грани свободны от напряжений, т. е. рассмотрим случай одноосного напряженного состояния.

Найдем напряжения по некоторому наклонному сечению тп, внешняя нормаль к которому составляет с осью стержня угол а. За положительное направление отсчета угла примем направле­ние против хода часовой стрелки. Рассечем мысленно этим се­чением стержень на две части и рассмотрим равновесие одной из частей, например, нижней (рис. 2.7).

Действие отброшен­ной части стержня на оставшуюся заменим напряжениями Р, которые примем равномерно распределенными по проведенно­му сечению. Площадь наклонного сечения будет

где dA — площадь поперечного сечения элемента бруса.

Для равновесия отсеченной части напряжения Р_а должны быть направлены параллельно оси стержня и уравновешивать нормаль­ную силу. Уравнение равновесия имеет вид

Отсюда

Напряжение Р_α, как известно, называется полным напряже­нием.

Раскладывая вектор Р_α в какой-либо точке наклонного сече­ния на нормальную и касательную составляющие (см. рис. 2.7), найдем составляющие полного напряжения, т. е. нормальное на­пряжение а и касательное напряжение . Подставляя в эти выражения вместо Р_α его значение по формуле (2.11), получим

Установим следующие правила знаков относительно напряже­ний  и . Растягивающие нормальные напряжения, т. е. совпа­дающие с направлением внешней нормали, будем считать положи­тельными. Касательное напряжение будем считать положительным, если при повороте вектора  против хода часовой стрелки на 90° его направление совпадает с направлением внешней нормали. Не­трудно видеть, что в рассмотренном нами случае напряжения  и  являются положительными.

Из формул (2.12) и (2.13) следует, что в элементарных пло­щадках, лежащих на некотором наклонном сечении, возника­ют как нормальные, так и касательные напряжения. Исследуем их изменение в зависимости от угла α. При α = 0°  = σ = σ_max, т. е. в поперечных сечениях, возникают максимальные нормаль­ные напряжения. При α = 90° (по площадкам, параллельным оси стержня)  = 0 и  = 0, т. е. продольные слои растянутого (или сжатого) стержня не имеют друг с другом силового взаи­модействия по боковым поверхностям. Поэтому растяжение стержня можно уподобить растяжению пучка не связанных меж­ду собой параллельных нитей. При α = 45° т. е. максимальные касательные напряжения действуют по сечени­ям, наклоненным под углом 45° к оси стержня, причем величи­на максимального касательного напряжения равна половине нормального, возникающего в поперечных сечениях.

Установим в заключение связь между касательными напря­жениями, возникающими на двух взаимно перпендикулярных площадках. Для этой цели рассмотрим две такие площадки, оп­ределяемые соответственно углами α и β, причем β = α + 90° (см. рис. 2.8). Для площадки, наклоненной под углом α по фор­муле (2.12) имеем . Для площадки, наклоненной под углом β = α + 90°, по той же формуле имеем

 

Рис. 2.8.

Сопоставляя выражения для  и , можем сделать следую­щий важный вывод:

т. е. касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам равны по величине и противоположны по зна­ку. Это положение является частным случаем закона парности касательных напряжений.

Рассмотрим теперь более общий слу­чай плоского (двухосного) напряженно­го состояния, когда отличны от нуля два главных напряжения σ₁, и σ₂ (рис. 2.9).

Положительный угол α между на­правлением σ₁, и нормалью к произвольной площадке будем по-прежнему отсчитывать против хода часовой стрел­ки. Между направлением напряжения σ₂ и площадкой угол равен (α + 90°).

Напряжения  и  в произвольном наклонном сечении вычисляют по фор­мулам (2.12), (2.13), суммируя напряже­ния от действия σ₁ с напряжением от действия σ₂ (при замене угла α на угол (α + 90°)). В результате получим

Рис. 2.9

  Легко убедиться в том, что напряжения  и  в наклонном сечении, перпендикулярном рассмотренному, могут быть подсчи­таны по формулам

Сравнивая (2.14) и (2.18), мы видим, что закон парности касатель­ных напряжений сохраняет свою силу и для двухосного напря­женного состояния.

Рассмотрим важные частные случаи.

1-й случай, σ₁ = σ₂ = σ (рис. 2.10, а).

Рис. 2.10

Из формул (2.14) следует, что на всех площадках, проходящих через исследуемую точку, касательное напряжение  равно нулю, а нормальное напряжение имеет одно и то же значение . Такое напряженное состояние называется равномерным двухос­ным растяжением.

2-й случай. Напряженное состояние (рис. 2.10, б) характери­зуется главными напряжениями σ₁ = σ и σ₃ = —σ.

Здесь σ₂ = 0. Определяя по формулам (2.14) напряжения в сечениях, одинаково наклоненных к направлениям σ₁ и σ₃, полу­чим  = 0, a  = ±σ. Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом.

Приведем без вывода результаты решения обратной задачи, когда требуется по значениям заданных нормальных ,  и касатель­ных ,  напряжений, действующих по граням элемента, опреде­лить значения главных напряжений и положение основных площадок. Формулы для определения главных напряжений σ_max, σ_mjn и угла наклона основных площадок α₀ имеют следующий вид: