2018-03-09
152
Инерционным (апериодическим) звеном 1 – го порядка называется такое звено, связь между выходом и входом определяется линейным заданным уравнением первого порядка вида
, (2.22)
где Т – постоянная времени инерционного звена, обусловленная наличием
массы, момента инерции, индуктивности ёмкости и т.д.;
k – коэффициент усиления (или передачи).
При линеаризации уравнений и соответствующем упрощении математического описания примерами инерционных звеньев могут служить многие объекты: генераторы, двигатели, электрические печи, а также исполнительные механизмы, электронные усилители, проходные четырёхполюсники, содержащие индуктивности или ёмкости.
Применяя к (2.22) преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, получим операторное уравнение
, (2.23)
Передаточная функция инерционного звена первого порядка на основании (2.23) запишется как
, (2.24)
|
|
|
Решение уравнений (2.23) или (2.24) может быть представлено в виде
(2.25)
(рисунок 2.9, а).
а) б)
Рисунок 2.9 – Переходная функция (а) и изображение (б)
инерционного звена
Изображение инерционного звена на структурных схемах показано на рисунке 2.9, б.
Частотная функция звена первого порядка получается путём замены р на jω в выражении (2.24)
, (2.26)
или (2.27)
где
(2.28)
Частотный годограф и частотные характеристики инерционного звена рассчитаны в таблице 2.1 и показаны на рисунке 2.10, а и б,в. Таким образом, АФЧХ инерционного звена представляет собой полуокружность радиуса 
с центром окружности, отстоящим от начала координат на 
, и при изменении частоты от 
до 
вектор 
поворачивает на угол, равный 
.
Рисунок 2.10
Логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика имеет вид
(2.29)
где 
Точное построение L(ω) заключается в последовательном определении значений L(ω) при различных частотах ω (таблица 2.1 и рисунок 2.11). Построение ЛАХ обычно упрощают, заменяя точную L’(ω) асимптотами. Первая асимптота характеризует 
при малых частотах, когда величиной ω2Т2 можно пренебречь, т.е. принимают
|
|
|
(2.30)
Эта асимптота не зависит от частоты. Вторая асимптота характеризует при больших частотах, когда ω2Т2»1,
т.е. принимают
(2.31)
Эта асимптота зависит от частоты. Если принять приращение частоты на одну декаду (ω2 =10 ω1), то амплитуда изменится на величину
Следовательно, для второй асимптоты известен наклон, характеризующий убывание амплитуды на 1 лог при возрастании частоты на 1дек (она проходит под углом -45° в том масштабе, который дан в п. 1.3). Точка сопряжения обеих асимптот будет удовлетворять равенствам (2.30) и (2.31)
откуда
Величина ω0 определяется постоянной времени инерционного звена первого порядка и называется сопрягающей частотой.
Таблица 2.1
| 
| 
| |
| P(ω) | k | k/2 | 0 |
| Q(ω) | 0 | -k/2 | 0 |
| A(ω) | k | 
| 0 |
| L(ω) | lg k | 
| 
|
| φ(ω) | 0o | -45o | -90o |
На основании изложенного можно сформулировать следующий порядок построения ЛАЧХ инерционного звена первого порядка, имеющего коэффициент усиления k: 1) определяется логарифм амплитуды частотной функции в логах; 2) рассчитывается сопрягающая частота в декадах; 3) через 
проводится горизонтальная прямая до точки сопрягающей частоты; 4) проводится прямая с наклоном -1 
после точки сопрягающей частоты от конца горизонтального участка ЛАЧХ (рисунок 2.11). Максимальное отклонение асимптотической ЛАЧХ L2 от действительной L1 равно 0,15 лог при частоте ω0 и незначительно при других частотах.
Рисунок 2.11 – ЛАЧХ и ЛФЧХ инерционного звена первого порядка
Логарифмическая фазо-частотная характеристика инерционного звена первого порядка 
Для сопрягающей частоты фаза
Логарифмическую фазо-частотную характеристику целесообразно строить по шаблонам или по точкам относительно ординаты сопрягающей частоты (таблица 2.1).
Примерами инерционного звена первого порядка являются: пассивные четырёхполюсники, состоящие из сопротивления и индуктивности или из сопротивления и ёмкости; термопара, генераторы постоянного и переменного тока; электрические двигатели (если вход – ток якоря, а выход – угловая скорость) и т.д., если уравнения можно представить в виде (2.22).
