Критерий Романовского

Для оценки близости эмпирического распределения признака Х к нормальному теоретическому Романовский предложил вычислять отноше- ние:

c2 - k

2 k

, (32)

где c² — статистика критерия Пирсона, вычисленная по формуле (26), ис- пользуя опытные данные, k = s – 3 — число степеней свободы. Если ука- занное отношение по модулю меньше трех, то расхождение между теоре- тическим и эмпирическим распределениями считается несущественным, т.е. можно принять, что данное эмпирическое распределение моделируется нормальным распределением. Если отношение (32) больше трех, то у нас нет оснований считать, что эмпирическое распределение признака Х под- чиняется нормальному закону распределения [2].

Критерий Колмогорова

Критерий Колмогорова в своем классическом виде является более мощным, чем критерий Пирсона, и может быть использован для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения любому теорети- ческому непрерывному распределению F (x) с заранее известными пара- метрами. Однако параметры функции распределения F (x), как правило, нам неизвестны, и их оценка производится по данным самой выборки. Это обстоятельство накладывает ограничения на возможность широкого прак- тического применения критерия: он может быть использован только для проверки соответствия опытных данных лишь некоторым конкретным функциям распределения.

Для проверки соответствия эмпирического распределения теорети- ческому нормальному распределению критерий Колмогорова применяют следующим образом.

Вычисляется статистика l критерия Колмогорова по формуле:

Z = D , (33)

где

D = max M - M

— максимум абсолютного значения разности между

накопленными эмпирическими частотами М и накопленными теоретиче- скими частотами M, n — объем выборки.

По вычисленному l находят значение функции

K (l) = 1 -

¥ (-1) k e -2 k 2l2

k =-¥

— вероятность того, что l достигает данной величины. График функции

K (l) имеет следующий вид:

Значения K (l) находят, пользуясь табл. 14.

Если найденному значению l соответствует очень малая вероят-

ность, т.е.

K (l) < 0,05, то имеет место существенное расхождение между

эмпирическим и теоретическим распределениями, которое нельзя считать случайным. Следовательно, рассматриваемая выборка не может быть смо- делирована нормальным законом распределения. Если вероятность K (l) > 0,05, то расхождение между частотами может быть случайным, и

распределения хорошо соответствуют одно другому.

Т а бл и ца 14

l	K (l)	l	K (l)
0,30	1,0000	1,10	0,1777
0,35	0,9997	1,20	0,1122
0,40	0,9972	1,30	0,681
0,45	0,9874	1,40	0,397
0,50	0,9639	1,50	0,222
0,55	0,9228	1,60	0,120
0,60	0,8643	1,70	0,052
0,70	0,7112	1,90	0,015
0,75	0,6272	2,00	0,007
0,80	0,5441	2,10	0,0003
0,85	0,4653	2,20	0,0001
0,90	0,3927	2,30	0,0001
0,95	0,3275	2,40	0,0000
1,00	0,2700	2,50	0,0000

Если проверяют гипотезу по критерию Колмогорова о соответствии выборки экспоненциальному распределению, параметры которого оцени- вают по опытным данным, то сначала вычисляют статистики [11]:

D + = max [ i - 1 + exp(- x

/ x)], (34)

n 1£ i £ n n i

D - = max [1 - exp(- x / x) - i -1 ], (35)

n 1£ i £ n i n

Dn = max[ D + , D - ]. (36)

n n

Затем составляют неравенство:

(Dn - 0,2 )(

+ 0,26 + 0,5)

£ l_a. (37)

Критические значения la

для этого случая:

l0,1 = 0,99,

l0,05 = 1,09 и

l0,01 = 1,31. Если неравенство (37) при выбранном la

выполняется, то это

означает, что эмпирическое распределение можно изучать на математиче- ской модели, подчиняющейся экспоненциальному закону распределения.

Критерий Ястремского

Для проверки соответствия данной выборочной совокупности при- знака X нормальному распределению составляется [2] неравенство:

где

J = c - l;

J £ 3

2 l + 4Q, (38)

c = å ;

(ni - ni ¢)2

ni ¢ qi ¢

ni — эмпирические частоты;

ni — теоретические частоты;

l — число столбцов дискретного вариационного ряда;

qi = 1 - pi;

pi ¢= ni ; n — объем выборки. Если l < 20, то

Q = 0,6.

Если вычисленное значение J меньше 3

2 l + 4Q, то гипотеза о бли-

зости эмпирического распределения признака Х к нормальному закону

распределения принимается. При значениях J больших 3 расхо-

ждения между эмпирическим и теоретическим распределениями сущест- венно. В этом случае данные выборки не будут подчиняться нормальному закону распределения.

Для вычисления величины c составляется табл. 15.

Т а бл и ца 15

xi	ni	ni	pi	qi	ni - ni	(ni - ni ¢)²	niqi	(ni - ni ¢)² ni ¢ qi ¢

S								c =

Приближенные критерии нормальности распределения

Для проверки гипотезы о соответствии данной выборки нормально- му закону распределения используют выборочные статистики: асиммет- рию и эксцесс. В этом случае названные статистики вычисляют по форму- лам (18) и (19). Затем вычисляют [11] их средние квадратические отклоне- ния по формулам:

S As =

, (39)

S = . (40)

Если

As £ S As и

E x £

SEx, то выборочная совокупность подчи-

няется нормальному закону распределения. Если

As и

E x заметно

больше своих средних квадратических отклонений, то выборочная сово- купность не будет распределена по нормальному закону.

Проверку выборочной совокупности на близость ее к нормальному

распределению можно производить, используя статистики c²,

Сначала вычисляют статистику c² по формуле:

As и

Ex.

2 A 2 E 2

c = s + x . (41)

S 2 2

As E x

Затем при заданном уровне значимости a и числе степеней свободы

k = 2

(используют в расчетах две статистики

As и

Ex) по приложению 5

кр

для распределения c² Пирсона находят 2. Если выполняется неравенство

кр

c2 < c2

, то гипотезу о нормальном распределении выборочной совокуп-

ности принимают. В противном случае, т.е. когда нормальном распределении выборки отвергают.

c2 > c2

, гипотезу о

Покажем применение рассмотренной теории на примере выполнения лабораторной работы № 2, являющейся продолжением лабораторной рабо- ты № 1.

К о н т рол ь ные в опро с ы:

1. Рассказать о возможных вариантах построения кривой нормаль- ного распределения по опытным данным.

2. Дать определение статистической гипотезы.

3. Что называется статистическим критерием?

4. Описать алгоритм применения любого статистического критерия для обработки экспериментальных данных.

5. Сформулировать правило применения критерия согласия c² Пир- сона для проверки гипотезы согласованности эмпирического распределе- ния с теоретическим нормальным.

6. Рассказать о применении критерия согласия Романовского для оценки близости эмпирического распределения к теоретическому нор- мальному.

7. Описать алгоритм применения критерия Колмогорова для про- верки соответствия эмпирического распределения нормальному теорети- ческому распределению.

8. Рассказать о применении критерия Ястремского для проверки со- ответствия данной выборочной совокупности нормальному распределе- нию.

9. Рассказать о приближенных критериях, применяемых для про- верки гипотезы о нормальном распределении выборочной совокупности.