Парная линейная корреляция

§ 9. Понятие корреляционной зависимо- сти. Задачи теории корреляции

В новых условиях хозяйственной деятельности предприятий возрас- тает роль экономико-математических методов для управления производст- вом. Управление производством — это сложный динамический процесс. Поэтому при выработке оптимального решения по управлению производ- ственно-хозяйственной деятельностью предприятия необходимо не только учитывать изменения параметров и характеристик, описывающих эту дея- тельность, но и уметь их прогнозировать, основываясь на экономических законах, которые наиболее полно отражают взаимосвязи основных показа- телей предприятия и его подразделений. Математическая формализация этих связей создает условия для экономического обоснования целесооб- разных объемов производимой продукции, определения ее качественных показателей и условий эффективного использования ресурсов.

Для решения этих задач применяют методы корреляционного анали- за. При анализе зависимостей между производственными показателями методами корреляционного анализа выделяют два основных типа пере- менных количественных признаков: независимые переменные (факторные признаки) и зависимые переменные (результативные признаки).

52          ГЛАВА 3. ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

При изучении взаимосвязей между переменными признаками надо,

прежде всего, установить, к какому типу зависимостей относится эта связь.

Зависимость между признаками X и Y называется корреляционной,

если каждому возможному значению xi

признака   X сопоставляется ус-

ловная средняя соответствующего распределения признака Y.

Среднее арифметическое значение признака Y, вычисленное при ус-

ловии, что признак X принимает фиксированное значение

xi, называется

условным средним, обозначается через

yxi

и вычисляется по формуле:

 

xi          nxi

y =   å  nij y j   ,                                       (42)

 

где

nij

— частоты, показывающие сколько раз повторяются парные значе-

ния

xi,

y j в данной выборке,

nxi

— частота появления значения х_i.

Теория корреляции изучает такую зависимость между признаками X и Y, при которой с изменением одного признака меняется распределе- ние другого. Она применяется для того, чтобы при сложном взаимодейст- вии посторонних факторов выяснить, какова должна быть зависимость между признаками X и Y, если бы посторонние факторы не изменялись и своим изменением не искажали истинную статистическую зависимость [4].

В теории корреляции решается триединая задача, методологической основой которой является триада:

Модель — Свойства — Адекватность.

Первая задача — поиск подходящей модели. На основе опытных данных выявляется характер корреляционной зависимости между призна- ками X и Y. При парной корреляции для ее решения применяют графиче-

ский метод. Если в корреляционном поле точки

(xi,

y j)

хорошо ложатся

на прямую, то можно предположить, что связь между признаками X и Y носит линейный характер. Если точки не ложатся на прямую, то связь бу- дет нелинейной. Исходя из геометрических соображений, выбирают урав- нение линии, которое называют уравнением регрессии, и находят неиз- вестные параметры, входящие в уравнение.

Вторая задача — изучение свойств модели. Определяется теснота связи между признаками, включенными в модель, по коэффициенту r кор- реляции (в случае линейной корреляции) или по корреляционным отноше-

ниям

h  yx,

h xy

(в случае криволинейной корреляции).

Третья задача — выявление степени адекватности построенной кор- реляционной модели (проверяется соответствие полученного уравнения регрессии опытным данным). Если данная модель оказалась не адекватной, то всё начинается сначала — строят новую модель.

§ 10. Парная линейная корреляция

Предположим, что на основе геометрических, физических или дру- гих соображений установлено, что между двумя количественными призна- ками X и Y существует линейная корреляционная зависимость. Тогда уравнение регрессии записывают в виде:

 

y ˆ x

= a 0

+  a 1 x.                                      (43)

 

Пусть опытные данные не сгруппированы в корреляционную табли- цу, т. е. заданы в виде табл. 18.

Т а бл и ца 18

xi	x 1	x 2	x 3	…	xk
yi	y 1	y 2	y 3	…	yk

 

В этом случае значения а ₀, а ₁, являющиеся оценками истинных вели- чин уравнения регрессии, находят по методу наименьших квадратов [4], решая систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно а ₀, а ₁:

 

ì  na 0 +

í

[ x ] a 1 = [ y ],

2

 

(44)

î[ x ] a 0 + [ x ] a 1 = [ xy ],

 

k                k                   k                   k

i

где [ x ] = å  xi, [ y ] = å  yi, [ x 2 ] = å  x 2, [ xy ] = å  xi yi.

i =1

i =1

i =1

i =1

Для нахождения сумм, входящих в систему (44), составляется табл.

19.

Т а бл и ца 19

xi	yi	xi yi	x 2 i
[ x ]	[ y ]	[ xy ]	[ x 2]

 

Если опытные данные сгруппированы в корреляционную таблицу, то

значения

a 0 и a 1

уравнения регрессии (43) находят по методу наименьших

квадратов, решая СЛАУ

 

ìï

í

 

na 0 +

 

[ nx x ] a 1 = [ ny y ],

2

 

 

(45)

ïî[ nx x ] a 0  + [ nx x

] a 1 = [ nxy xy ],

 

где nx

и ny

— частоты признаков X и Y,

nxy

— частота совместного по-

явления признаков   X и Y. Для нахождения сумм, входящих в систему

(45), составляется табл. 20.

Т а бл и ца 20

x y	x 1	x 2	…	xk	n y	n y y
y 1			…
y 2			…
…	…	…	…	…	…	…
ym			…
nx			…			[ ny y ]
nx x			…		[ nx x ]
nx x 2			…		[ nx x 2 ]
nxy xy			…		[ nxy xy ]

Суммы

[ nx x ],

[ nx x 2 ],

[ nxy xy ]

в табл. 20 находятся по строкам, а сумма

[ n y y ] — по последнему столбцу табл. 20.

В уравнении регрессии (43) параметр a 0

 

характеризует усредненное

влияние на результативный признак Y неучтенных (не выявленных для

исследования) факторных признаков

X i. Параметр

a 1 показывает, на

сколько изменяется в среднем значение результативного признака Y при увеличении факторного признака на единицу.

Используя параметр

K э по формуле:

a 1, вычисляют [9] коэффициент эластичности

 

y

K э = a 1   x

.                                          (46)

§ 10. Парная линейная корреляция                      55

Коэффициент эластичности K э

показывает, на сколько процентов

изменяется результативный признак Y при изменении факторного призна- ка X на 1 %.

В случае линейной корреляционной зависимости между признаками

X и Y, уравнения регрессий находят [4] по формулам:

 

y ˆ x

= y + r S y

S

x

(x - x),                                 (47)

 

x ˆ y

= x + r S x

S

y

(y -

y) ,                                (48)

 

где x, y — выборочные средние признаков X и Y;

S x, S y

— выбороч-

S

ные средние квадратические отклонения признаков X и Y, вычисляемые по формулам:

 

S ˆ x   =

, где ˆ 2

n

= å (x

  1

n -1

i =1

- x) 2

(n < 50)

 

,             (49)

 

x

i

ˆ                  2  n                2

=

S y   =   , где

S ˆ y

1

n -1

å(yi i =1

- y)

(n < 50).          (50)

 

При

n ³ 50

S x и S y

находят по формулам:

 

S x =  , где

n

S

n

x

2 = 1  å (xi

- x) 2,                       (51)

i =1

 

S y   =   , где

n

S

n

y

2 = 1  å (yi

- y) 2.                      (52)

i =1

Коэффициент линейной корреляции r находят по формуле:

 

r =

 xy - x × y

S x × S y

,                                          (53)

 

где xy

— средняя произведения значений признаков   X и Y, x, y —

средние значения признаков X и Y,

S x, S y

— выборочные средние квад-

ратические отклонения признаков X и Y, вычисленные по формулам (49)

и (50), если n < 50, или по формулам (51) и (52), если n ³ 50.

Уравнение (47) называют уравнением регрессии y на x, а уравнение

(48) — уравнением регрессии x на y.

Если данные выборки для признаков X и Y заданы в виде корреля-

ционной таблицы и объем выборки   n > 30, то для нахождения величин,

входящих в уравнения линий регрессий (47) и (48), переходят к вспомога-

тельному распределению с условными вариантами ui

по формулам:

и v j, вычисляемых

 

i

u = xi - C 1,                                        (54)

h 1

 

v j =

y j - C 2,                                        (55)

h 2

 

где C 1 = M 0 X, C 2 = M 0 Y,

h 1 и h 2

— шаги значений признаков X и Y.

Выборочный коэффициент линейной корреляции r в этом случае находят по формуле

 

 

где

 

å n_uv uv - nu v

r =

nSu Sv

,                                       (56)

 

S_u  =           , Sv  =

.                       (57)

 

Для нахождения суммы å  nuv uv

составляется расчетная табл. 21.

 

Т а бл и ца 21

 

v u	v 1	v 2	…	vk	nu
u 1	u 1 v 1 nu 1 v 1	u 1 v 2 nu 1 v 2	…	u 1 vk nu 1 v k	nu 1
u 2	u 2 v 1 nu 2 v 1	u 2 v 2 nu 2 v 2	…	u 2 vk nu 2 v k	nu 2
…	…	…	…	…	…
un	unv 1 nun v 1	unv 2 nun v 2	…	unvk nun v k	nun
nv	nv 1	nv 2	…	nvk	å nuvuv

 

Статистики x, y,

S x, S y

находят по формулам:

 

x = uh 1 + C 1,

y = vh 2 + C 2,

S x = Su h 1,

S y = Sv h 2 .           (58)

 

§ 11. Коэффициент корреляции, его свойства и значимость

После выбора функции как формы корреляционной зависимости ме- жду признаками X и Y решается задача, состоящая в определении тесно- ты связи между ними, в оценке рассеяния относительно линии регрессии

---

---