Если в базисе линейный оператор имеет матрицу A, в базисе - матрицу B, а S - матрица перехода от первого базиса ко второму, то
Произведение и сумма линейных операторов
Если f и g - линейные операторы пространства с матрицами A и B в базисе , то операторы произведения и суммы - линейные и имеют в том же базисе матрицы BA и A + B соответственно.
Оператор, обратный данному линейному оператору
Линейный оператор называется обратным линейному оператору , если
Обозначение:
Для существования необходимо и достаточно, чтобы f был невырожденным оператором. Если A - матрица оператора f в некотором базисе, то оператор в том же базисе имеет матрицу .
Характеристический многочлен и его инварианты.
Вопрос
Ненулевой вектор х назовем собственным вектором линейного оператора , если существует такое число l, что выполняется равенство: х = lх.
Число l называется собственным числом или собственным значением оператора .
Т.к. оператор преобразует пространство само в себя, то матрица этого оператора квадратная. Если базис пространства {en}, то
|
|
матрица оператора:
Запишем в координатной форме равенство х = lх:
( - lЕ) х = 0
Эта система линейных однородных уравнений относительно координат искомого вектора х. Т.к. х ¹ 0, то системы должна иметь ненулевое решение. Значит, для этого, должно быть det (A - l E) = 0, или
Уравнение D(l) = 0 называется характеристическим уравнением для линейного оператора , а многочлен
степени n относительно l - характеристическим многочленом.