Линейные операторы: определение и примеры. Пространство линейных операторов

Оператором над линейным пространством L называется однозначное отображение ɥ: L→L, при котором каждому вектору x Î L ставится в соответствие единственный вектор yÎ L.

       Оператор ɥ будем называть линейным, если для любых элементов х₁, х₂ пространства L₁ и любого вещественного числа l выполняются два условия:

1⁰  (х₁ + х₂) =  х₁ +  х₂ (свойство аддитивности оператора).

2⁰  (l х) = l  х (свойство однородности оператора).

       Примеры:

1. Оператор тождественного преобразования.

Оператор тождественного преобразования переводит любой вектор сам в себя. Другими словами, он возвращает тот же самый вектор, который принял, ничего с ним не делая. Оператор тождественного преобразования обозначается буквой I, следовательно: , и . Отсюда находим матрицу тождественного преобразования.

2. Обратный оператор

Если – произвольный оператор, и если существует такой оператор , что , то называется обратным оператором. Обратный оператор имеет обратную матрицу: . Не каждый оператор имеет обратный, а только тот, который осуществляет взаимно однозначное преобразование.

3. Оператор растяжения

Представим, что геометрическое пространство построено из эластичного материала. Растянем его в направлении оси x так, чтобы каждый отрезок, расположенный вдоль этой оси растянулся бы в λ раз. В этом случае x координата каждого вектора увеличится в λ раз, в то же время остальные его координаты останутся без изменения.

; ; .

4. Оператор сдвига

Представим, что все пространство заполнено тонкими листами бумаги, аккуратно сложенными в одну стопку (рис. 50). Сдвинем листы на одну и ту же величину относительно друг друга в направлении оси y.

Рис. 50

Если считать лисы бумаги очень тонкими слоями геометрического пространства, то векторы, находящиеся в этом пространстве и с ним связанные также сдвинутся. Координаты векторов параллельных плоскости xoy, как лежащие в сдвигаемых слоях, не изменятся. Зато концы вектора перпендикулярного плоскости xoy сдвинутся один относительно другого в направлении оси y на величину пропорциональную длине вектора. Общее выражение для такого преобразования в векторной форме можно записать так: .