Угол между векторами в Евклидовом пространстве
Пусть L1 L2 – ненулевые векторы, тогда
Матрица и определитель Грама
Пусть в евклидовом пространстве E известным образом задано скалярное произведение (X, Y). Матрицей Грама системы векторов {X1, X2,..Xm} называется квадратная матрица, состоящая из всевозможных скалярных произведений этих векторов:
Матрица Грама является симметричной матрицей. Ее определитель называется определителем Грама (или грамианом) системы векторов.
Пример. Если в пространстве Rn строк, состоящих из n вещественных чисел, скалярное произведение определяется по правилу
то матрица Грама строк
вычисляется перемножением матриц:
Из теоремы Бине-Коши сразу же следует, что при m>n (числе строк превышающем размерность пространства) определитель Грама равен нулю.
Ортонормированный базис
Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.
Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.
|
|
Пример. Даны векторы(1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) и (3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы, и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему: линейно независимы. Тогда это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля. Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера. Итого, координаты вектора в базисе,,: { -1/4, 7/4, 5/2}.