double arrow

Угол между векторами в евклидовом пространстве. Матрица Грама. Орто-нормированный базис.

  Угол между векторами в Евклидовом пространстве

Пусть L1 L2 – ненулевые векторы, тогда


Матрица и определитель Грама

 Пусть в евклидовом пространстве E известным образом задано скалярное произведение (X, Y). Матрицей Грама системы векторов {X1, X2,..Xm} называется квадратная матрица, состоящая из всевозможных скалярных произведений этих векторов:

 Матрица Грама является симметричной матрицей. Ее определитель называется определителем Грама (или грамианом) системы векторов.

Пример. Если в пространстве Rn строк, состоящих из n вещественных чисел, скалярное произведение определяется по правилу

то матрица Грама строк

вычисляется перемножением матриц:

Из теоремы Бине-Коши сразу же следует, что при m>n (числе строк превышающем размерность пространства) определитель Грама равен нулю.

Ортонормированный базис

 Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

 Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.

 Пример. Даны векторы(1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) и (3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы, и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

 Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему: линейно независимы. Тогда это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля. Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера. Итого, координаты вектора в базисе,,:    { -1/4, 7/4, 5/2}.

 

 


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: