Теорема о диагональной матрице линейного оператора. Отыскание базиса, в котором матрица оператора диагональна

Собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора

Можно показать (на лекции не доказывается), что у самосопряженного оператора существует собственный ортонормированный базис.

Поскольку A=A*, то матрица самосопряженного оператора — симметричная матрица. Справедлива следующая теорема.

Теорема. Матрица самосопряженного оператора в собственном базисе имеет диагональную форму.

Ясно, что для того чтобы привести матрицу самосопряженного оператор к диагональному виду нужно найти собственные значения оператора и диагональную матрицу, на диагонали которой расположены собственные значения матрицы.

Если нужно записать выражение для приведения матрицы к этой диагональной форме, то нужно еще найти собственные векторы матрицы, записать матрицу C перехода к собственному базису (матрицу, столбцами которой являются координаты собственных векторов оператора), найти обратную к ней матрицу С ^-1 и тогда — равенство, связывающее диагональну форму матрицы оператора в собственном базисе с матрицей A оператора в заданном базисе.

Приведение матрицы линейного оператора к диагональной форме

Таким образом можно описать алгоритм приведения матрицы линейного оператора к диагональной форме.

Он состоит в следующем:

· записываем матрицу оператора A в исходном базисе;

· записываем характеристическое уравнение и вычисляем его корни;

· находим собственный базис оператора (если он существует);

· записываем матрицу C, столбцами которой являются координаты собственных векторов (векторов собственного базиса);

· по формуле C^-1AC находим диагональную форму матриц оператора — матрицу оператора в собственном базисе.

Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Длина вектора в евклидовом пространстве: определение и свойства.

Определение

Действительное линейное пространство E называется евклидовым, если каждой паре векторов сопоставляется число так, что и выполняются аксиомы:

II.

III.

IV.

Число называют скалярным произведением векторов и , - скалярным квадратом вектора (пишут ). Введенная операция называется скалярным умножением векторов и .

Теорема 1 (неравенство Коши-Буняковского)

Для любых чисел .

Доказательство

При неравенство верно. Допустим, . Докажем, что . Перепишем это неравенство, частично раскрыв скобки: . Легко заметить, что для того, чтобы доказать это неравенство, достаточно доказать Перенеся все слагаемые в одну сторону, и сгруппировав их, получаем очевидное неравенство: А это и доказывает неравенство Коши-Буняковского.