Линейное пространство

Пусть L- это некоторое множество, элементы которого мы удем называть "векторами", P- некоторое(числовое поле). Пусть так же выполняются следующие условия.

1. В L определена операция сложения элементов.

2. В Lопределена операция умножения элемента на число из P.

3. Эти операции удовлетворяют законам дистрибутивности.

Тогда говорим, что L образует линейное пространство над полем P относительно операций сложений и умножней.

Произведение линейных операторов: определение и свойства.

Критерии невырожденности линейного оператора.

Ядро, образ, ранг и дефект линейного оператора. Связь ранга и дефекта

ВНИМАНИЕ, ДЛЯ ПОЛНОГО ОЗНАКОМЛЕНИЕ ПРОСМОТРИТЕ ВОПРОС 33!

Ядро и область значений линейного оператора

Ядро оператора: - множество, обозначаемое Ker f:

Область значений (образ) оператора - множество, обозначаемое Im f:

Множества Ker f и Im f являются подпространствами пространства V.

Ранг оператора (обозначение: dim Im f) - ранг матрицы A линейного оператора f,

dim Im f = rank A.

Дефектом оператора называют dim Ker f,

dim Im f + dim Ker f = n.

Матрица линейного оператора. Теорема о координатах образа вектора при линейном преобразовании

-Матрица линейного оператора.

Линейный оператор A действует из n -мерного линейного пространства X в m -мерное линейное пространство Y.

В этих пространствах определены базисы e = {e ₁,..., e _n } и f = {f ₁,..., f _m }.

Пусть A (e _i) = a _{1 i} ·f ₁ + a _{2 i} ·f ₂ +...+ a _{m i} ·f _m — разложение образа i -го базисного вектора базиса e пространства X по базису f пространства Y, i = 1, 2,..., n.

Матрицей линейного оператора в базисах e, f называется матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов базиса e в базисе f, A = { a _{i j} } = { A (e _j) _i }:

Координаты образа y = A (x) и прообраза x связаны соотношеннием:

y = A · x,

-Теорема о координатах образа вектора при линейном преобразовании.

Образ вектора х равен произведению матрицы линейного оператора на столбец его координат: если у = А (х), то