double arrow

Линейное пространство


Пусть L- это некоторое множество, элементы которого мы удем называть "векторами", P- некоторое(числовое поле). Пусть так же выполняются следующие условия.

1. В L определена операция сложения элементов.

2. В Lопределена операция умножения элемента на число из P.

3. Эти операции удовлетворяют законам дистрибутивности.

Тогда говорим, что L образует линейное пространство над полем P относительно операций сложений и умножней.

 

 

Произведение линейных операторов: определение и свойства.


 


Критерии невырожденности линейного оператора.

 



Ядро, образ, ранг и дефект линейного оператора. Связь ранга и дефекта

ВНИМАНИЕ, ДЛЯ ПОЛНОГО ОЗНАКОМЛЕНИЕ ПРОСМОТРИТЕ ВОПРОС 33!

Ядро и область значений линейного оператора

 

Ядро оператора: - множество, обозначаемое Ker f:

Область значений (образ) оператора - множество, обозначаемое Im f:

Множества Ker f и Im f являются подпространствами пространства V.

Ранг оператора (обозначение: dim Im f) - ранг матрицы A линейного оператора f,

dim Im f = rank A.

Дефектом оператора называют dim Ker f,

dim Im f + dim Ker f = n.

 

 

 

Матрица линейного оператора. Теорема о координатах образа вектора при линейном преобразовании




-Матрица линейного оператора.

Линейный оператор A действует из n-мерного линейного пространства X в m-мерное линейное пространство Y .

В этих пространствах определены базисы e = {e1, ..., en} и f = {f1, ..., fm}.

Пусть A(ei ) = a1i·f1 + a2i·f2 + ...+ ami·fm — разложение образа i-го базисного вектора базиса e пространства X по базису f пространства Y, i = 1, 2, ..., n.

Матрицей линейного оператора в базисах e, f называется матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов базиса e в базисе f , A = {aij}= {A(ej )i}:

Координаты образа y = A(x) и прообраза x связаны соотношеннием:

y =A· x,


 

-Теорема о координатах образа вектора при линейном преобразовании.

Образ вектора х равен произведению матрицы линейного оператора на столбец его координат: если у = А(х), то

 








Сейчас читают про: