Операторы квантовой механики. Спектр операторов. Операторы важнейших физических величин

Оператор – это математическое правило, преобразующее одну функцию в другую. Такое преобразование может быть умножением исходной функции на число или известную функцию, дифференцированием функции, перестановкой аргументов функции и др. В квантовой механике каждой физической величине Q сопоставляется линейный оператор .

Оператор называется линейным, если он удовлетворяет условию:

(1)

Любой оператор удовлетворяет уравнению

. (2)

Значения параметра q, отвечающие уравнению (2) называются собственными значениями оператора . Совокупность собственных значений q называется спектром оператора. Если спектр состоит из дискретных значений, то он называется дискретным. Если совокупность собственных значений образует непрерывную последовательность, то спектр называют непрерывным. Функции, удовлетворяющие уравнению (2), называются собственными функциями оператора . Может случиться, что одному собственному значению q в уравнении (2) отвечает несколько различных собственных функций Ψ. Тогда говорят, что собственное значение q вырождено, а число различных собственных функций называют кратностью вырождения.

В квантовой механике постулируется, что в результате измерения физической величины Q может получиться лишь одно из собственных значений оператора , удовлетворяющих уравнению (2).

В квантовой механике вводятся следующие операторы физических величин.

Оператором пространственной координаты частицы является умножение на .В символической операторной форме записи этих операций имеют вид:

. (3)

Объединяя эти формулы, введем векторный оператор .

Компоненты оператора импульса записываются в виде:

(4)

Векторный оператор импульса имеет вид:

.

В классической механике кинетическая энергия связана с квадратом импульса соотношением:

.

Учитывая (4), запишем оператор кинетической энергии в квантовой механике:

. (5)

Так как потенциальная энергия частицы в стационарном силовом поле зависит только от координат, то оператор потенциальной энергии совпадает с функцией

. (6)

Оператор полной энергии определяется как сумма операторов кинетической и потенциальной энергий: . (7)

Оператор полной энергии называют гамильтонианом. Гамильтониан является основным оператором квантовой механики.

Оператор момента импульса получается из классического выражения

(8)

заменой составляющих импульса на соответствующие операторы.

.(9)

Физические величины являются вещественными, поэтому в кантовой механике они должны описываться операторами, собственные значения которых вещественные. Такому условию удовлетворяют эрмитовы операторы.

Самосопряженным (эрмитовым) оператором называется оператор, удовлетворяющий условию .