Метод хорд і метод дотичних є різновидами методу ітерації при спеціальному виборі функції . В методі хорд , де – так звана нерухома точка, в якості береться той з кінців відрізку , де , інший кінець цього відрізку береться за початкове наближення , ітерації будуються по формулі
(до спільного знаменника не зводити! Чому?).
У методі дотичних , за початкове наближення вибирається один з кінців відрізку , саме той, де . Робоча формула методу має вигляд
Для закінчення процесу ітерацій в методі дотичних можна використати наступну оцінку точності
де
а
Крім того, оцінювати похибку наближень в усіх методах можна за загальною оцінкою (8).
В методах хорд і дотичних корінь бажано відокремити так, щоб та зберігали знак на [a, b] (інакше метод може виявитися непридатним).
З оцінок точності методів видно, що метод дотичних (Ньютона) збігається швидше за інші. Це - метод другого порядку точності.
ПРИКЛАД 19. Методом хорд і методом дотичних знайти з точністю до позитивний корінь рівняння
В методі хорд
.
Отже, .
В методі дотичних ; ; .
Помітимо, що в методі дотичних початкове наближення виявилося найгрубішим, цим пояснюється велика кількість (порівняно з іншими методами) ітерацій.
Комбінований метод
Оскільки наближення до кореня, що отримуються методом хорд та дотичних, лежать по різні сторони від кореня , то дуже вигідно поєднувати ці методи. Отримуємо так званий комбінований метод, він застосовується на кожному кроці до нового відрізку, або до , якщо правий кінець нерухомий, або до , якщо залишається нерухомим лівий кінець. Очевидно, що середина відрізку є наближенням до кореня з точністю
Так, в даному прикладі після першого кроку отримуємо
; далі,
; далі,
.
Довжина останнього відрізку дорівнює , отже, значення є наближенням до кореня з точністю .