Знаходження комплексних коренів рівняння

Знаходження комплексних коренів рівняння

можна звести до розв’язання нелінійної системи рівнянь. Підставляючи в рівняння (13)  і виділяючи дійсну та уявну частину функції , матимемо

Звідси випливає, що

Інший спосіб знаходження комплексних коренів рівняння - метод Ньютона (дотичних). Наближення   знаходяться за формулою

але початкове наближення має бути обов'язкове комплексним(!), тобто . При цьому використовуючи формулу (15), неважко написати формули для обчислення і , тобто фактично проводити обчислення з дійсними числами, що дає можливість використати ЕОМ. Уточнення слід проводити до тих пір, поки  и а також  и  не співпадуть із заданою точністю. Початкове наближення  можна знайти або за допомогою системи (14), або підбором, або за допомогою "близького" рівняння.

    Крім того, для знаходження комплексних коренів алгебраїчного рівняння можна використати метод Берстоу, якщо тільки ми будемо мати початкове наближення для множника , що відповідає парі комплексно спряжених коренів.

ПРИКЛАД 23. Знайти комплексний корінь рівняння

з двома вірними десятковими знаками.

    Для знаходження початкового наближення скористаємося "близьким" рівнянням

; .

Далі, за методом Ньютона знаходимо

; ; .

Отже, шуканий корінь .

Можна також знайти розв’язок цього рівняння, звівши його до нелінійної системи:

,

Задачі

Знайти з точністю до  комплексний корінь рівнянь.

68.  .

69. .

70.  .

 

РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ  ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ.  ОБЕРНЕННЯ МАТРИЦЬ.  ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧНИКІВ

       Нехай потрібно розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь з  невідомими

Або в матричному вигляді

причому . Методи для розв’язання лінійних систем, які використовуються на сучасному етапі, можна розділити на дві групи: точні та наближені.