Метод простої ітерації

Метод простої ітерації для уточнення коренів рівняння (6) полягає в наступному. Рівняння (6) зводиться до вигляду

причому має бути виконана умова збіжності

для .

На відрізку вибираємо початкове наближення ( краще брати з середньої третини відрізку , інакше похибка округлення може вивести нас за межі того відрізку, де виконується умова збіжності) і знаходимо подальші наближення до кореня за формулою

Ітерації обчислюємо до виконання умови

тоді з оцінки точності цього методу

випливає, що .

Помітимо, що у випадку, коли і , послідовні наближення збігаються до кореня, коливаючись відносно кореня ( праворуч, ліворуч, праворуч і так далі). В цьому випадку

і, отже, знаки наближення , що встановилися, обов’язково належать до точного значення кореня .

ПРИКЛАД 17. Методом простої ітерації знайти з точністю позитивний корінь рівняння

Зведемо це рівняння до вигляду :

та

Візьмем , тоді

;

; .

Значить, з точністю

ПРИКЛАД 18. Методом простої ітерації знайти з точністю до позитивний корінь рівняння

Раніше було знайдено, що . Далі, , тобто

; .

Для всіх . Значить, наближення збігаються до кореня коливаючись

; ;

;

На швидкість збіжності методу ітерацій впливає вибір початкового приближения а також величина .

Зведення рівняння (6) до вигляду (9) можна здійснити різними способами. Так, в прикладі 17, безпосередньо виражаючи з рівняння, отримуємо ;

або ;

або та ін.

Очевидно, при відшукуванні кореня, що належить відрізку , можна ітерувати перше з цих рівнянь, але воно не придатне для кореня з відрізку .

У разі, якщо це рівняння має вигляд , але в околі шуканого кореня має місце нерівність

то замінюємо це рівняння еквівалентним

де , для цього рівняння процес ітерації збігатиметься, оскільки

Так, при знаходженні коренів рівняння слід ітерувати рівняння

Вельми корисним на практиці виявляється наступний спосіб зведення рівняння (6) до вигляду (9). Нехай корінь рівняння (6) належить відрізку і для виконується нерівність