Етап відділення коренів

Наближене знаходження коренів рівняння

(6)

проводиться в два етапи: спочатку корені відділяються, тобто знаходяться відрізки заданої довжини, що містять лише один корінь рівняння, а потім початкові наближення коренів (будь-які значення із заданих відрізків) уточнюються тим чи іншим способом, поки не буде виконано нерівність

, де - корінь, - -е наближення до кореня, задана точність.

Нехай функція в рівнянні (6) неперервна в заданому інтервалі, і нехай рівняння (6) має лише ізольовані корені, та вимагається відокремити ці корені.

Аналітичний метод відділення коренів грунтується на наступній теоремі з аналізу:

Якщо неперервна на відрізку функція набуває значень різних знаків на кінцях відрізку, тобто , то усередині цього відрізку міститься принаймні один корінь рівняння (6), тобто існує хоч би одне , таке що .

Для знаходження такого відрізку часто доводиться визначати знак функції в досить великому числі точок.

Зручнішим, як правило, виявляється графічний метод відділення коренів. Корені рівняння (6) є абсцисами точок перетину графіку функції з віссю абсцис. Проте, часто буває вигідніше подати рівняння (6) у вигляді

( та простіші, ніж ) і знайти абсциси точок перетину кривих та . Краще вказати відрізки, які містять абсциси точок перетину цих кривих.

Практично надійніше поєднувати ці два методи. Спочатку зробити графічний рисунок, що показує розташування і число дійсних коренів, потім перевірити аналітичним методом, чи дійсно отримані з графіку відрізки містять корені цього рівняння. Річ у тому, що будувати графік з великою точністю недоцільно, а при малій точності графіку можливі помилки.

ПРИКЛАД 14. Відокремити корені рівняння

так, щоб довжина відрізку , що містить корінь, не перевищувала ; тобто та .

Рисунок 1 - Графіки функцій ;

Зводимо рівняння до вигляду : і будуємо графіки функцій ; . На рис. 1 показано, що це рівняння має три дійсні корені, приблизно ; ; ; причом ; ; .

Дійсно,

;

ПРИКЛАД 15. Відокремити корені рівняння

так, щоб та

Побудувавши графіки функцій та (рис. 2), бачимо, що рівняння має два корені и . Оскільки ; та , то ; .

Рисунок 2 - Графіки функцій та

Помітимо, що в цьому прикладі в силу парності можна було обмежитися розглядом .

Існує ще один аналітичний метод відділення коренів. Він полягає в наступному. Для даного рівняння знаходиться простіше рівняння, яке має корені, що приблизно дорівнюють кореням початкового рівняння. Корені цього рівняння і будуть початковими наближеннями для коренів даного рівняння. Наприклад, нехай вимагається відокремити позитивний корінь рівняння

Можна помітити, що позитивний корінь цього рівняння близький до . Очевидно, . Оскільки для виконується нерівність , то, замінюючи спочатку нулем, а потім - одиницею, отримуємо рівняння і , між коренями яких розташований позитивний корінь цього рівняння, тобто .

При відділенні коренів корисно враховувати різні особливості функції . Так, наприклад, очевидно, що алгебраїчне рівняння з позитивними коефіцієнтами не може мати позитивних коренів; корінь рівняння (6) в інтервалі буде єдиним, якщо похідна зберігає постійний знак на та ін.