Метод квадратних коренів

Метод квадратних коренів використовується для розв’язання лінійних систем з симметричною матрицею та полягає в наступному. Матриця системи подається у вигляді , де  - нижня трикутна матриця

Легко побачити, що таке подання у випадку симетричної матриці можливе та є єдиним. Елементи  визначаються з рівності ,

Як і у випадку компактної схеми Гаусса, суми типу скалярних добутків, які входять у формули для  и  варто обчислювати на ЕОМ з подвійною точністю.

Далі, система , або , зводиться до двох систем з трикутними матрицями. Дійсно, позначивши   через , тобто ,  отримаємо .

Спочатку знаходимо , потім .

ПРИКЛАД 26. Розв’язати методом квадратних коренів систему

Оскільки

то ; ; ; ; ; .

З системи  знаходимо .

Після цього неважко знайти

Як видно з розглянутого прикладу, в проміжних обчисленнях за методом квадратних коренів можуть з’явитися комплексні числа. Це варто враховувати при програмуванні метода на ЕОМ.

Уточнення розв’язку системи

Оскільки при розв’язанні лінийних систем точними методами помилка округлювання впливає на результат, то ми знайдемо лише наближений розв’язок. Тому знайдений розв’язок системи доводиться уточнювати; підставляємо вектор розв’язку  в систему, знайдемо . Віднімаємо цю рівність з , отримаємо систему для вектора поправок

Розв’яжемо цю систему з подвійною точністю  (як правило, тим же методом, що і початкову систему), знаходимо  та уточнений розв’язок . Потім процедуру повторюємо, доки вектор поправок не буде дорівнювати нулю з заданою точністю. Відмітимо, що не слід закінчувати процес уточнення на тій основі, що малими є нев'язки .