Обчислення визначників і обернення матриць

Розглянуті методи розв’язання лінійних систем можна застосовувати для обчислення визначників і обернення матриць. Так, враховуючи властивості визначників, знаходимо за схемою єдиного ділення:

Якби при обчисленні визначника довелося б робити перестановки, то добуток провідних елементів потрібно було б помножити на  , де k - кількість перестановок рядків в схемі єдиного ділення, а в схемі з вибором головного елементу по усій матриці  кількість перестановок рядків і стовпців.

Слід мати на увазі, що при обчисленні визначників на ЕОМ може виникнути як переповнення, так і машинний нуль. Страхуватися можна введенням масштабних множників, переходом до логарифмів, почерговим перемножуванням великих і малих елементів. У тих випадках, коли треба лише з’ясувати, дорівнює нулю визначник чи ні, перемножувати провідні елементи взагалі не слід.

Далі, , або, позначаючи через , . Це матричне рівняння є  систем лінійних рівнянь (невідомі  стовпці матриці ), зокрема, система відносно елементів першого стовпця має вигляд

Оскільки ці системи відрізняються тільки правими частинами (матриці їх однакові і дорівнюють ), то їх слід розв’язувати паралельно.

Знайдемо обернену матрицю для матриці

,

Для цього потрібно розв’язати три системи лінійних рівнянь:

Отже,

.

Виконуючи після цього тричі зворотний хід, знаходимо обернену матрицю

Малі за абсолютною величиною провідні елементи можуть бути причиною великої похибки при обчисленні оберненої матриці та при розв’язанні системи лінійних рівнянь (наприклад, задача 76).

Порівняйте об’єм обчислень (!) при розв’язанні лінійних систем за методом Гаусса і за правилом Крамера, а також при розв’язанні системи і при оберненні матриці.