Производные и дифференциалы высшего порядка

Производная от функции есть снова функция. Поэтому можно попытаться взять от нее производную. Полученная функция (если она существует, то называется второй производной от и обозначается через . Таким образом, .

По индукции, производная порядка n определяется как первая производная от производной порядка (n – 1): .

Дифференциал от функции мы будем называть первым дифференциалом от в точке , соответствующим дифференциалу (приращению) независимой переменной .

Дифферециал n -го порядка от функции в точке , соответствующий дифференциалу независимой переменной определяется по индукции:

Из этого равенства следует, что n -я производная от в точке , есть отношение .

Первообразная. Неопределенный интеграл

Пусть на интервале (а, b) задана непрерывная функция . По определению функция называется первообразной функцией для на интервале (а, b), если на нем производная от равна :

Очевидно, что если функция - первообразная для на (а,b), а С – некоторая постоянная, то функция есть также первообразная для , потому, что

Если какая-либо первообразная от на интервале (а, b), то возможные первообразные от на этом интервале выражаются формулой , где вместо С можно подставить любое число.

Неопределенным интегралом от непрерывной функции на интервале (а, b) называется произвольная ее первообразная функция. Неопределенный интеграл обозначается так:

Если , – непрерывные на интервале (а, b) функции и , и – постоянные, то имеет место следующее равенство, выражающее основное свойство неопределенного интеграла: