double arrow

Производные и дифференциалы высшего порядка


Производная от функции  есть снова функция. Поэтому можно попытаться взять от нее производную. Полученная функция (если она существует, то называется второй производной от  и обозначается через . Таким образом, .

По индукции, производная  порядка n определяется как первая производная от производной  порядка (n – 1): .

Дифференциал от функции  мы будем называть первым дифференциалом от  в точке , соответствующим дифференциалу (приращению) независимой переменной .

Дифферециал n-го порядка от функции  в точке , соответствующий дифференциалу независимой переменной  определяется по индукции:

.

Из этого равенства следует, что n-я производная от  в точке , есть отношение .

 

Первообразная. Неопределенный интеграл

Пусть на интервале (а, b) задана непрерывная функция . По определению функция  называется первообразной функцией для  на интервале (а, b), если на нем производная от  равна :

Очевидно, что если функция  - первообразная для  на (а,b), а С – некоторая постоянная, то функция  есть также первообразная для , потому, что

Если  какая-либо первообразная от  на интервале (а, b), то возможные первообразные от  на этом интервале выражаются формулой , где вместо С можно подставить любое число.




Неопределенным интегралом от непрерывной функции  на интервале (а, b) называется произвольная ее первообразная функция. Неопределенный интеграл обозначается так:

.

Если ,  – непрерывные на интервале (а, b) функции и , и  – постоянные, то имеет место следующее равенство, выражающее основное свойство неопределенного интеграла:

, где С – некоторая постоянная.

 

 

Таблица основных неопределенных интегралов

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11.

12. ;

13. ;

14. .

 

 

Понятие определенного интеграла.







Сейчас читают про: