Площадь криволинейной фигуры

Зададим на отрезке  (а и b – конечные числа) неотрицательную непрерывную функцию . Изобразим ее график и определим понятие площади фигуры, ограниченной кривой , осью , прямыми  и  и вычислим эту площадь. Проведем разбиение отрезка  на  частей точками , выберем на каждом из полученных отрезков  (j = 0, 1, …, n –1) по произвольной точке  определим значения  функции в этих точках и составим сумму:  которую называют интегральной суммой и которая равна сумме площадей прямоугольников. Будем теперь стремить все  к нулю, причем так, чтобы максимальный (самый большой) частичный отре­зок разбиения стремиться к нулю. Если при этом величина  стремиться к оп­ределенному пределу , не зависящему от способов разбиения и выбора точек . Тогда величину  назовем площадью нашей криволинейной фигуры. Т. о.:

.

Отвлекаясь от операции нахождения площади, будем рассматривать эту операцию как нахождение некоторого числа  по данной функции , заданной на отрезке : .

Определенным интегралом от функции на отрезке  называется предел интегральной суммы, когда максимальный частичный отрезок разбиения стремиться к нулю.

Пусть задана непрерывная на  функция  и пусть  есть ее первообразная. Теорема Ньютона-Лейбница утверждает справедливость следующего равенства: .

Основные методы интегрирования

Интегрирование заменой переменной (подстановкой)

Пусть функция  определена и дифференцируема на некотором множестве , и пусть  множество всех значений этой функции. Пусть далее для функции  существует на множестве  первообразная функция , т. е. . Тогда всюду на множестве  для функции  существует первообразная функция, равная , т. е.

.

Пусть нам требуется вычислить интеграл  и можно выбрать в качестве новой переменной функцию  так, что , причем  легко интегрируется т.е.:

 и  – этот прием вычисления называется интегрированием путем замены переменной.