Динамика идеальной и вязкой жидкости

 

 В целях упрощения постановки задач при изучении законов движения жидкости создана модель идеальной жидкости.

Идеальной жидкостью называется воображаемая жидкость, которая характеризуется полным отсутствием вязкости и абсолютной неизменяемостью объема при изменении давления.

Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости можно получить из дифференциальных уравнений покоя (смотри Гидростатику), если согласно принципу Даламбера ввести в эти уравнения силу инерции, отнесенную к единице массы движущейся жидкости.

 

- I _x, I_y, Iz,проекции силы инерции, равной произведению массы на ускорение, на оси координат I_x = ρ dx dy dz dU_x/ dt

 

 проекции ускорений на оси координат.

 

Сила инерции направлена в сторону противоположную ускорению, поэтому она входит со знаком минус.

Вводя силу инерции в дифференциальное уравнение равновесия (уравнение Эйлера) получим:

 

Уравнение движения Эйлера для идеальной жидкости.

 

Граничные условия:

1. Непроницаемость стенки.

2. Безотрывное течение вдоль стенки

 «Полное ускорение частицы вдоль координатной оси складывается из ускорения от массовых сил и от ускорения сил давления».

 В векторной форме уравнение имеет вид

 

 

Переходя от идеальной жидкости к реальной (вязкой) жидкости, в полученные уравнения вводятся дополнительные слагаемые, учитывающие силы трения, отнесенные к единице массы жидкости.

Такая операция приводит нас к системе трех уравнений, называемых уравнениями Навье – Стокса.

 

Последнее дополнительное слагаемое учитывает силы трения. Выражения в скобках представляют собой соответствующие суммы вторых частных производных от U,V,W по координатам x,y, z.

Для получения конкретных решений при интегрировании системы уравнений должны быть заданы граничные условия:

1. Условие прилипания частиц к твердой стенке а) равенство 0 скорости на неподвижной стенке или б) совпадение скоростей частиц жидкости со скоростями точек движущейся твердой поверхности.

2. В случае внешнего обтекания: задание скорости во внешнем потоке. В случае движения в трубе: задание расхода.

3.  Задание давления в какой-либо одной точке потока

4. В векторном виде

5. , где символ ММ обозначает вектор с проекциями VU, VV, VW.