double arrow

Плоский напружений стан.

Пряма задача:

В точці відомі положення головних площадок і відповідні до них головні напруження; треба знайти нормальні дотичні напруження, що діють по площадках, які нахилені під заданим кутом a до головних.

Зворотня задача:  В точці відомі нормальні й дотичні напруження, які діють у двох взаємно перпендикулярних площадках, що проходять через дану точку; треба знайти головні площадки і головні напруження.

Обидві ці задачі можна розв’язати як аналітично, так і графічно.

Аналітичне розв’язання прямої задачі здійснюється за формулами:

                                                

Проаналізувати напружений стан, скориставшись простою графічною побудовою можна за наступним планом:

Розглянемо прямокутну систему координат s t, тобто по осі абсцис будемо відкладати щначення головних s1, s2, а також нормальних sa, sb напружень, а по осі ординат – значення ta, tb.

1. Вибравши для напружень певний масштаб, відкладемо по осі абсцис s1 і s2. (ОВ = s1, ОА = s2) Рис 24;

2. На відрізку АВ як на діаметрі будуємо коло з центром в точці С. Побудоване таким чином коло називається кругом напружень, або кругом Мора.

3. Координати точок круга Мора відповідають нормальним та дотичним напруженням на різних площадках. Так для визначення напружень на площадці, проведеній піл кутом a з точки А проводимо промінь під кутом a до перетину з колом в точці Д. (додатні кути відкладаємо проти годинникової стрілки). Координати точки Д дадуть значення для sa і ta.

 

 

Рис 24

Контрольні запитання.

1. Які площадки і напруження називаються головними?

2. Які ви знаєте види напруженого стану? Охарактеризуйте їх.

3. Розкрийте сутність прямої задачі.

4. Розкрийте сутність зворотньої задачі.

5. Охарактеризуйте графічний способ розв’язання прямої задачі.

6.  Охарактеризуйте графічний способ розв’язання зворотньої задачі.

 

Приклад 1. На головних площадках діють розтягальні напруження 90 МПа і 60 МПа. Треба знайти нормальні і дотичні напруження на гранях елемента, одна з яких нахилена до горизонталі під кутом 200. (рис 25)

Довільно позначаємо площадки a і b і проводимо нормаль na. Тлді матимемо: s1 = 90 МПа, s2  = 60 МПа, s3 = 0, a = -70.

Рис 25
Розв’язуючи цю пряму задачу аналітично за формулами:

Ураховуючи знаки визначених напружень, показуємо напруження на гранях елемента abcd.

На рис 26 виконано графічне розв’язання задачі відповідно до викладеного плану.

 

Рис 26

 

Аналітичне розв’язання зворотньої задачі здійснюється за формулами:

                                                     

Проаналізувати напружений стан, скориставшись простою графічною побудовою можна за наступним планом:

1. Вибравши для напружень певний масштаб, відкладемо  в системі координат точки Дa з координатами sa, ta і Дbз координатами sb і tb. рис 27;

2. На відрізку Дa Дb  як на діаметрі будуємо коло з центром в точці С.

3. Абсциси точок перетину кола з віссю s - відрізки ОА та ОВ – дадуть відповідно значення головних напружень s1, s2.

 

Рис 27

Приклад 2. По гранях елемента діють показані на рисунку напруження. Треба знайти головні напруження та віднопівнф до них головні напрями. (рис 28)

 

Виходячи з того як позначені на рисунку площадки маємо:

sa = 100 МПа, sb  = - 80 МПа, ta = - 50МПа,

 tb = 50 МПа..

Рис 28
Розв’язуючи цю пряму задачу аналітично за формулами:

Що відповідає a0 = 14032¢.

Цей кут відкладаємо від горизонталі проти годинникової стрілки і знаходимо напрям напруження s1, напрям s3 перпендикулярний до нього.

На рис 29 виконано графічне розв’язання задачі відповідно до викладеного плану.

Рис 29

Завдання для самостійного розв’язання.

Варіант обираються згідно номеру по списку в журналі.

Задача 1. По заданим s1 і s2 (рис 30 а), або s1 і s3 (рис 30 б), або s2 і s3 (рис 30в) визначити аналітично і графічно sa, і ta в перерізі під кутом a. Визначити найбільше дотичне напруження.

 

Рис 30

 

Таблиця 7

Варіант

Заданні величини

Варіант

Заданні величини

s1, кг/см2 s2, кг/см2 s3, кг/см2 a0 s1, кг/см2 s2, кг/см2 s3, кг/см2 a0
1 1000 500 0 30 16 1200 450 0 45
2 1000 500 0 - 60 17 0 -500 -1000 30
3 300 300 0 любий 18 0 -100 -400 - 60
4 800 0 -200 60 19 0 - 300 - 600 30
5 800 0 -200 - 30 20 1200 500 0 - 30
6 300 0 -300 45 21 0 -300 -300 45
7 300 0 -300 30 22 200 0 -200 30
8 300 0 -300 - 60 23 800 0 -400 -60
9 0 -200 -600 60 24 600 300 0 30
10 0 -200 -600 - 30 25 300 300 0 30
11 100 0 -500 45 26 800 0 -200 - 60
12 400 100 0 30 27 300 0 -300 любий
13 400 0 -200 60 28 0 -200 -600 60
14 600 200 0 45 29 0 -200 -600 - 30
15 1200 600 0 30 30 100 0 -500 45

 

Задача 2. По заданим sa, sb, ta (tb = - ta) визначити аналітично і графічно величину і напрямок головних напружень.

Рис 31

Таблиця 8

Варіант

Заданні величини, кг/см2

Варіант

Заданні величини, кг/см2

sa sb ta ta sb ta
1 400 200 100 16 800 0 400
2 500 300 -200 17 600 0 200
3 -200 300 200 18 400 0 -200
4 -400 200 -300 19 700 200 -300
5 -100 -200 100 20 -400 -500 -250
6 -200 -400 -400 21 500 250 100
7 500 0 200 22 200 -100 200
8 0 600 300 23 -200 -200 250
9 -400 0 200 24 -400 500 100
10 0 -800 250 25 400 200 400
11 500 500 100 26 300 -500 -250
12 -400 -400 -200 27 -1000 0 300
13 0 0 250 28 -750 0 200
14 -600 400 0 29 -550 100 200
15 600 200 -250 30 800 -400 200

 

Задача 3  Визначити аналітично і графічно  нормальне sg і дотичне tg наруження.

 

 

Рис 32

Таблиця 9

 Варіант

Заданні величини, кг/см2

Варіант

Заданні величини, кг/см2


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: