Пряма задача:
В точці відомі положення головних площадок і відповідні до них головні напруження; треба знайти нормальні дотичні напруження, що діють по площадках, які нахилені під заданим кутом a до головних.
Зворотня задача: В точці відомі нормальні й дотичні напруження, які діють у двох взаємно перпендикулярних площадках, що проходять через дану точку; треба знайти головні площадки і головні напруження.
Обидві ці задачі можна розв’язати як аналітично, так і графічно.
Аналітичне розв’язання прямої задачі здійснюється за формулами:
Проаналізувати напружений стан, скориставшись простою графічною побудовою можна за наступним планом:
Розглянемо прямокутну систему координат s t, тобто по осі абсцис будемо відкладати щначення головних s1, s2, а також нормальних sa, sb напружень, а по осі ординат – значення ta, tb.
1. Вибравши для напружень певний масштаб, відкладемо по осі абсцис s1 і s2. (ОВ = s1, ОА = s2) Рис 24;
2. На відрізку АВ як на діаметрі будуємо коло з центром в точці С. Побудоване таким чином коло називається кругом напружень, або кругом Мора.
|
|
3. Координати точок круга Мора відповідають нормальним та дотичним напруженням на різних площадках. Так для визначення напружень на площадці, проведеній піл кутом a з точки А проводимо промінь під кутом a до перетину з колом в точці Д. (додатні кути відкладаємо проти годинникової стрілки). Координати точки Д дадуть значення для sa і ta.
Рис 24
Контрольні запитання.
1. Які площадки і напруження називаються головними?
2. Які ви знаєте види напруженого стану? Охарактеризуйте їх.
3. Розкрийте сутність прямої задачі.
4. Розкрийте сутність зворотньої задачі.
5. Охарактеризуйте графічний способ розв’язання прямої задачі.
6. Охарактеризуйте графічний способ розв’язання зворотньої задачі.
Приклад 1. На головних площадках діють розтягальні напруження 90 МПа і 60 МПа. Треба знайти нормальні і дотичні напруження на гранях елемента, одна з яких нахилена до горизонталі під кутом 200. (рис 25)
Довільно позначаємо площадки a і b і проводимо нормаль na. Тлді матимемо: s1 = 90 МПа, s2 = 60 МПа, s3 = 0, a = -70.
|
Ураховуючи знаки визначених напружень, показуємо напруження на гранях елемента abcd.
На рис 26 виконано графічне розв’язання задачі відповідно до викладеного плану.
Рис 26
Аналітичне розв’язання зворотньої задачі здійснюється за формулами:
Проаналізувати напружений стан, скориставшись простою графічною побудовою можна за наступним планом:
|
|
1. Вибравши для напружень певний масштаб, відкладемо в системі координат точки Дa з координатами sa, ta і Дbз координатами sb і tb. рис 27;
2. На відрізку Дa Дb як на діаметрі будуємо коло з центром в точці С.
3. Абсциси точок перетину кола з віссю s - відрізки ОА та ОВ – дадуть відповідно значення головних напружень s1, s2.
Рис 27
Приклад 2. По гранях елемента діють показані на рисунку напруження. Треба знайти головні напруження та віднопівнф до них головні напрями. (рис 28)
Виходячи з того як позначені на рисунку площадки маємо:
sa = 100 МПа, sb = - 80 МПа, ta = - 50МПа,
tb = 50 МПа..
|
Що відповідає a0 = 14032¢.
Цей кут відкладаємо від горизонталі проти годинникової стрілки і знаходимо напрям напруження s1, напрям s3 перпендикулярний до нього.
На рис 29 виконано графічне розв’язання задачі відповідно до викладеного плану.
Рис 29
Завдання для самостійного розв’язання.
Варіант обираються згідно номеру по списку в журналі.
Задача 1. По заданим s1 і s2 (рис 30 а), або s1 і s3 (рис 30 б), або s2 і s3 (рис 30в) визначити аналітично і графічно sa, і ta в перерізі під кутом a. Визначити найбільше дотичне напруження.
Рис 30
Таблиця 7
Варіант | Заданні величини | Варіант | Заданні величини | ||||||
s1, кг/см2 | s2, кг/см2 | s3, кг/см2 | a0 | s1, кг/см2 | s2, кг/см2 | s3, кг/см2 | a0 | ||
1 | 1000 | 500 | 0 | 30 | 16 | 1200 | 450 | 0 | 45 |
2 | 1000 | 500 | 0 | - 60 | 17 | 0 | -500 | -1000 | 30 |
3 | 300 | 300 | 0 | любий | 18 | 0 | -100 | -400 | - 60 |
4 | 800 | 0 | -200 | 60 | 19 | 0 | - 300 | - 600 | 30 |
5 | 800 | 0 | -200 | - 30 | 20 | 1200 | 500 | 0 | - 30 |
6 | 300 | 0 | -300 | 45 | 21 | 0 | -300 | -300 | 45 |
7 | 300 | 0 | -300 | 30 | 22 | 200 | 0 | -200 | 30 |
8 | 300 | 0 | -300 | - 60 | 23 | 800 | 0 | -400 | -60 |
9 | 0 | -200 | -600 | 60 | 24 | 600 | 300 | 0 | 30 |
10 | 0 | -200 | -600 | - 30 | 25 | 300 | 300 | 0 | 30 |
11 | 100 | 0 | -500 | 45 | 26 | 800 | 0 | -200 | - 60 |
12 | 400 | 100 | 0 | 30 | 27 | 300 | 0 | -300 | любий |
13 | 400 | 0 | -200 | 60 | 28 | 0 | -200 | -600 | 60 |
14 | 600 | 200 | 0 | 45 | 29 | 0 | -200 | -600 | - 30 |
15 | 1200 | 600 | 0 | 30 | 30 | 100 | 0 | -500 | 45 |
Задача 2. По заданим sa, sb, ta (tb = - ta) визначити аналітично і графічно величину і напрямок головних напружень.
Рис 31
Таблиця 8
Варіант | Заданні величини, кг/см2 | Варіант | Заданні величини, кг/см2 | ||||
sa | sb | ta | ta | sb | ta | ||
1 | 400 | 200 | 100 | 16 | 800 | 0 | 400 |
2 | 500 | 300 | -200 | 17 | 600 | 0 | 200 |
3 | -200 | 300 | 200 | 18 | 400 | 0 | -200 |
4 | -400 | 200 | -300 | 19 | 700 | 200 | -300 |
5 | -100 | -200 | 100 | 20 | -400 | -500 | -250 |
6 | -200 | -400 | -400 | 21 | 500 | 250 | 100 |
7 | 500 | 0 | 200 | 22 | 200 | -100 | 200 |
8 | 0 | 600 | 300 | 23 | -200 | -200 | 250 |
9 | -400 | 0 | 200 | 24 | -400 | 500 | 100 |
10 | 0 | -800 | 250 | 25 | 400 | 200 | 400 |
11 | 500 | 500 | 100 | 26 | 300 | -500 | -250 |
12 | -400 | -400 | -200 | 27 | -1000 | 0 | 300 |
13 | 0 | 0 | 250 | 28 | -750 | 0 | 200 |
14 | -600 | 400 | 0 | 29 | -550 | 100 | 200 |
15 | 600 | 200 | -250 | 30 | 800 | -400 | 200 |
Задача 3 Визначити аналітично і графічно нормальне sg і дотичне tg наруження.
Рис 32
Таблиця 9
Варіант | Заданні величини, кг/см2 | Варіант | Заданні величини, кг/см2 |