Механическое равновесие

Состояние механического равновесия есть состояние, в котором ускорение dv/dt равно нулю. Мы интересуемся такими состояниями механического равновесия, в которых не только ускорения равны нулю, но и пренебрежимо малы градиенты скоростей, а, следовательно, мал и вязкий тензор давлений П.

Для таких состояний уравнение движения (2.19) принимает вид:

0=:-grad p +                                                                             (2.1)

В ряде важных случаев состояние механического равновесия, описываемое уравнением (2.1), действительно устанавливается за время, значительно меньшее времени, характерного для термодинамических процессов. Таким образом, фактически это состояние достигается уже к началу исследуемых необратимых процессов. Для более общих случаев это утверждение не всегда справедливо: все зависит от конкрет­ной физической ситуации. Можно представить себе, например, осциллирующие системы, в которых ускорение все время отлично, от нуля. Однако, например, для явлений диффузии или термодиффузии в замкнутых сосудах вполне разумно предполагать, что в хорошем приближении состояние механического равновесия, описываемое урав­нением (2.1), быстро реализуется. В диффузионных экспериментах ускорение dv/dt может быть отличным от нуля, например, в том случае, когда молекулярные массы участвующих в процессе компо­нентов имеют разную величину. Однако это ускорение очень мало и возникающие градиенты давления (если предположить отсутствие внешних сил) также пренебрежимо малы. Налагаемая в начальный момент разность давлений также приведет к появлению ускорений, но они исчезнут вследствие наличия вязкости задолго до того, как процесс диффузии достигнет стационарного состояния. Таким образом, вновь предполагая отсутствие внешних сил F_k, мы можем считать градиенты давления пренебрежимо малыми уже почти в самом начале процесса диффузии.

Таким образом, мы можем поставить граничные условия в общей задаче исходя из того, что существует поверхность, где осуществляется состояние равновесия. Для твердых тел (случай а) - это состояние механического равновесия, где поверхность твердого тела неподвижна.

 Рассмотрим в качестве примера такого подхода модель волнового твердотельного гироскопа, приведенную в работе [ ]  .

Резонатор ВТГ выполнен в виде тонкостенной полусферической оболочки, закрепленной на цилиндрической ножке в окрестности полюса (рис. 2.1 Математическая мо­дель оболочки строится на основе гипотезы Кирхгофа-Лява, которая заключается в следующем: любая прямая, нормальная к средней поверхности оболочки до деформации, остается нормальной к этой поверхности и после деформации; длина отрезка нормали вдоль толщины оболочки остается постоянной в процессе деформации; нормальные напряжения, возникающие между соседними слоями оболочки, параллельными средней поверхности, малы по сравнению с другими компонентами тензора напряжений, и ими можно пренебречь. В случае выполнения гипотезы Киргофа -Лява,в качестве неподвижной поверхности выбрана некоторая «срединная поверхность», где предполагается, что все действующие силы находятся в равновесии, т. е амплитуда колебаний равна нулю

Рис. 2.1. Резонатор ВТГ 1 – оболочка 2 -ножка

Рис. 2.2. Схема деформации оболочки (α), (β), (γ) – координаты линий;  - компоненты вектора перемещения; - единичные векторы

 

Гипотеза Кирхгофа - Лява дает возможность установить геометрическую картину деформации оболочки. В общем случае деформация является суммой касательных перемещений ,  точек средней поверхности и нормального перемещения  этой же поверхности; здесь  и  - локальные координаты точки на средней поверхности полусферической оболочки (рис. 2.2).

 В состоянии равновесия, которое приблизительно выполняется на срединной поверхности, компоненты тензоров напряжений и деформаций (  и  соответственно) под­чинены следующим условиям:

,

где  - "вертикальная" координата точек, лежащих внутри оболочки (см. рис. 2.2).

С помощью этих соотношений закон Гука, отражающий линейную связь тензоров напряжений и деформаций, можно записать в виде

             (2.11)

где Е - модуль Юнга; v - коэффициент Пуассона материала оболочки.

Компоненты тензора деформаций разложим по степеням координаты  и оставим в полученных разложениях только линейные относительно  слагаемые:

                (2.12)

Коэффициенты разложений (2.12) имеют следующий геометрический смысл:  и  являются относительными удлинениями координатных линий; и характеризует изменение угла между координатными линиями (деформация сдвига);  и  характеризуют изменение главных кривизн средней поверхности при переходе в деформированное состояние (деформация изгиба);  характеризует деформацию кручения средней поверхности.

Значения коэффициентов разложений (2.12) целесообраз­но привести сразу для полусферической оболочки, для ко­торой  - сферические координаты, R - ра­диус средней поверхности в недеформированном состоянии (рис. 2.3), тогда справедливы равенства:

             (2.13)

Рис. 2.3. Сферические координаты

Рис. 2.3. Схема нагрузок действующих на элемент оболочки

Подставляя (2.12) в (2.11), получаем:

                 (2.14)

 

Рассмотрим движение выделенного элемента оболочки, для которой координатные линии являются линиями кривиз­ны (рис. 2.4); очевидно, что сферическая оболочка обладает таким свойством. На рис. 2.4 точки имеют следующие координаты: .

Согласно принципу Даламбера, выделенный элемент на­ходится в состоянии равновесия, если сумма активных сил, сил инерции, а также моментов этих сил, приложенных к нему, равна нулю.

Введем в рассмотрение силы и моменты, действующие на выделенный элемент со стороны остальной части оболочки (см. рис. 2.4):

 - нормальные силы;

 - сдвигающие силы;

 - перерезывающие силы;

 - изгибающие моменты;

 - крутящие моменты.

Обозначим проекции сил инерции, отнесенных к единице площади средней поверхности, на оси  локальной системы координат через X, Y, Z соответственно.

Отметим, что все силовые факторы приведены на единицу длины соответствующей координатной линии средней поверхности оболочки.

Силовые факторы связаны с компонентами тензора на­пряжений следующим образом:

                 (2.15)

где h - толщина стенки оболочки.

Подставляя (2.14) в (2.15) и выполняя интегрирование, по­лучаем выражения для сил и моментов через составляющие деформации:

                          (2.16)

Уравнения равновесия элемента оболочки, изображенного на рис. 2.4, выглядят следующим образом:

                      (2.17)

После исключения перерезывающих сил  и  и подстановки  получаем:

(2.18)

Решая эти уравнения можно получить распределение пучности и впадин стоячей волны по кромке резонатора в начальный момент времени в стационарном режиме. Эти расчеты бывают крайне необходимы при оценке падения добротности резонатора в зависимости от технологических погрешностей изготовления активного элемента.

Таким образом,модель развития напряжений в чувствительном элементе гироскопа формально построена. Полученные уравнения приводят к достаточно сложным уравнения колебаний четвертого порядка, поэтому в рамках данного курса не рассматриваются. Способы решения этого уравнения приведены в той же работе [ ]