Економетрична модель із трьома змінними: ієрархія коефіцієнтів кореляції

Задана вибірка трьох змінних

Y_і	4	5	6	8	11	11	12	12	13	14
X₁	3	4	5	7	9	11	10	12	11	12
X₂	7	9	11	12	12	15	18	21	22	24

1. Вважаючи, що економетрична модель лінійна, визначити коефіцієнти парної (нульового порядку), частинної (першого порядку) та множинної кореляції (другого порядку).

2. Провести аналіз дисперсій на основі знайдених коефіцієнтів кореляції.

Розвязування. Перш, ніж досліджувати економетричну модель з трьома змінними , необхідно розрахувати три парних моделі наступного виду

Для кожної моделі розраховуємо коефіцієнти кореляції, які називають коефіцієнтами кореляції нульового порядку чи коефіцієнтами парної кореляції:

Для розрахунку даних коефіцієнтів скористаємося обрахованими в попередній задачі значеннями із таблиці 7.

Значення коефіцієнта r_YX₁ має співпадати із значенням коефіцієнта кореляції завдання №1.

Матриця коефіцієнтів кореляції нульового порядку набуває вигляду

Із допомогою матриці коефіцієнтів кореляції нульового порядку можна здійснити аналіз дисперсій змінних моделі. Проведення такого аналізу є одним із основних завдань економетрії. Значення коефіцієнта кореляції r_YX₁=0.97 показує, що 97 % загальної дисперсії змінної Y пояснюються економетричною моделлю . Непояснена дисперсія, викликана випадковою складовою u, складає 3 %.

Коефіцієнт r_YX₂=0.92 показує, що 92 % загальної дисперсії Y пояснені економетричною моделлю . Непояснена дисперсія складає 8 %.

Очевидно, що якщо обмежитися розрахунками тільки перших моделей, то слід вибрати першу модель, яка пояснює більшу частку загальної дисперсії змінної Y.

Окремо слід зупинитися на аналізі дисперсій пояснюючих змінних Х₁, Х₂ який базується на коефіцієнті кореляції r_X₁_X₂.

Значення r_X₁_X₂= 0.91 показує, що 91 % загальної дисперсії змінної Х₁ пояснюється економетричною моделлю .

Іншими словами, пояснююча змінна Х₁корелює з пояснюючою змінною Х₂. Велике значення коефіцієнта кореляції між пояснюючими змінними економетричної моделі свідчить про явище мультиколінеарності, яке полягає в тому, що вплив пояснюючої змінної Х₁ на результативну Y можна вважати опосередкованим через змінну Х₂ і навпаки.

Здійснивши аналіз дисперсій на основі коефіцієнтів нульового порядку, можна поставити запитання в іншому аспекті. А саме, якщо r_YX₁=0.97, то непоясненою залишається 3 % дисперсії. Якщо в модель ввести ще одну пояснюючу змінну Х₂, то необхідно дізнатися яку частку дисперсії непоясненої змінною Х₁пояснить введення змінної Х₂. Визначити цю частку можна з допомогою коефіцієнта частинної кореляції чи коефіцієнта кореляції першого порядку

Отже, якщо r_YX₂_._._X₁ = 0.4, то з 3 % дисперсії змінної Y, непоясненої змінної Х1 40 % пояснює введення ще однієї пояснюючої змінної Х2.

Коефіцієнт частинної кореляції r_YX_1._._X₂ визначається наступним чином

Значить, із 8 % дисперсії змінної Y непоясненої змінною Х2, 83 % пояснює введення в модель змінної Х1.

Отже, аналіз дисперсій, який базується на матриці коефіцієнтів нульового порядку та коефіцієнтів частинної кореляції дає важливу інформацію при розрахунку економетричної моделі

Висновок.

1). Модель виду можна замінити моделлю виду на підставі того, що ця модель пояснює 97 % дисперсії змінної Y. Введення в модель додаткової змінної Х2 пояснює лише 40 % дисперсії Y, непоясненої змінною Х1. Змінна Х2 призводить до ускладнення моделі та збільшення обсягу розрахунків.

2). Модель виду не можна замінити моделлю виду оскільки ця модель пояснює лише 92 % дисперсії змінної Y. Введення в модель додаткової змынної Х1 пояснює лише 83 % дисперсії Y, непоясненої змінною Х2.