Лінійні багатофакторні економетричні моделі

ЗНАХОДЖЕННЯ ОЦІНОК МЕТОДОМ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ З ЗАСТОСУВАННЯМ МАТРИЧНОЇ ФОРМИ ЗАПИСУ

Задана вибірка трьох змінних , , , які входять в економетричну модель, у вигляді таблиці

	4	5	6	8	11	11	12	12	13	14
	3	4	5	7	9	11	10	12	11	12
	7	9	11	12	12	15	18	21	22	24

Знайти вектор оцінок і матрицю дисперсій оцінок .

Розв’язування.

Допустимо, що між показником  і факторами ,   існує лінійна залежність

Знайдемо оцінки параметрів, використовуючи матричні операції за формулою

, де

-матриця пояснюючих змінних X ₁, X ₂ , доповнена колонкою одиниць, - вектор результативної змінної Y, - транспонована матриця пояснюючих змінних.

Проведемо відповідно обчислення

.

= .

Наступним кроком є обчислення добутку матриці і вектора :

= ґ

Тоді вектор оцінок

ґ = .

Отже економетрична модель має вигляд:

.

 

Знаходимо матрицю дисперсій оцінок:

,

де , - вектор відхилень значень змінної Y _і  із вибірки від розрахункових значень цієї змінної ,

- транспонований вектор , n – об’єм вибірки, k – кількість змінних, які входять в модель.

Діагональні елементи матриці визначають дисперсії оцінок , , . Інші елементи взаємну коваріацію цих оцінок. З допомогою діагональних елементів матриці  знаходяться граничні похибки оцінок для заданого рівня ймовірності.

Знаходимо розрахункові значення

;     і т. д. .

Обчислюємо вектор відхилень:

=4 -4,12 = -0,12;  = 5 - 5,19 = -0,19; і т. д. = 14 - 13,65 = 0,35.

= = 4,82.

= 4,82/(10-3) = 0,69.

 

 = 0,69 ґ  = .