Основные понятия теории вероятностей

Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.

Методы теории вероятности по природе приспособлены только для исследования массовых случайных явлений; они не дают возможность предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений.

В теории вероятностей испытанием принято называть эксперимент, который (хотя бы теоретически) может быть произведён в одних и тех же условиях неограниченное число раз.

Результат или исход каждого испытания назовём событием. Событие являетсяосновным понятием теории вероятностей. Будем обозначать события буквами А, В, С.

Виды событий:

достоверное событие - событие, которое в результате опыта обязательно произойдет.

невозможное событие - событие, которое в результате опыта не может произойти.

 случайное событие - событие, которое может произойти в данном опыте, а может и не произойти. Равновозможность событий означает, что нет оснований предпочесть какое-либо одно из них другим.

 Вероятностью события A (обозначают P(A)) называется отношение числа исходов, благоприятных событию A (обозначают m(A)), к числу всех исходов испытания – N т.е. P(A) = m(A)/ N.

4. Вероятностное пространство.

Вероятностное пространство – это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А.Н. Колмогорова. Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей. Любая задача теории вероятности решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально. Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.

Вероятностное пространство определяется тройкой компонент (символов) (Ω,S,P), где Ω-пространство элементарных событий

S-∂(сигма)-алгебра событий, Р - вероятность, Ω-достоверное событие, S-система подмножеств пространства элементарных исходов Ω.

5. Непосредственный подсчет вероятности.

Классическое определение вероятности основано на понятии равновозможности событий.

Равновозможность событий означает, что нет оснований предпочесть какое-либо одно из них другим.

Рассмотрим испытание, в результате которого может произойти событие A. Каждый исход, при котором осуществляется событие A, называется благоприятным событию A.

Вероятностью события A (обозначают P(A)) называется отношение числа исходов, благоприятных событию A (обозначают m(A)), к числу всех исходов испытания – N т.е. P(A) = m(A)/ N.

Из классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

Вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

Доказательство. Так как                      , то поделив все части неравенства на N, получим     

 

Откуда по классическому определению вероятности следует, что

Вероятность достоверного события равна единице.

Вероятность невозможного события равна нулю

6. Теоремы сложения вероятностей.

Если А и В несовместны, то Р(А + В) = Р(А) +Р(В)

Если   и  противоположные события, то  

     

Если А и В совместны, то теорема сложения принимает вид:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В) - Р(АВ).

7. Теоремы умножения вероятностей.

Если А и В независимые события, то

Р(АВ) = Р(А)*Р(В).                                         

Если А и В совместны, то

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

8. Теорема о вероятности хотя бы одного события

Вероятность появления хотя бы одного из  ,  ….  независимых в совокупности равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий: ,  …

P(A)=1-  ….  , где  =P()

                                     =1-  , i=1,2,….n