2018-02-13
209
Пусть Ḋ ϲ 
f–голоморфная функция в Ḋ. Совокупность Ḋ и f называется элементами и обозначается {Ḋ,f} при этом Ḋназывают областью элемента. Элемент { 
} называют непосредственным аналитическим продолжение элемента { 
} если: d: = 
является областью и 
. Из принципа единственности следует что 
. Таким образом, если элемент { } является непосредственным аналитическим продолжением { } то это продолжение единственно. Оно обратимо { } является непосредственным аналитическим продолжением { }. Конечное множество элементов { },…, { 
} – называется цепью если элемент { } является непосредственным аналитическим продолжение элемента { 
} (k=1,2,3,4,5….,m) При этом говорят что элемент { 
} является аналитическим продолжением элемента { } по соединяющей их цепи области.
Принцип симметрии Римана-Шварца.
Пусть две непересекающиеся области 
имеют общий участок границы, содержащий кусочно-гладкую простую дугу 
без ее конечных точек. Рассмотрим множество 
= 
– приставляющее собой область.
|
|
|
Лемма
Пусть функция 
(k=1,2…) голоморфна в области 
(
и непрерывна на 
Если 
z 
то функция 
равная 
и равная на , общее значение является голоморфным в 
.
Это лемма будет исполняться в том частном случае когда интеграл по прямой, но в этом случае ее справедливость следует из замечания к теореме Мореры.(без доказательства)
Теорема (принцип симметрии Римана-Шварца)
Если функция f голоморфна в 
и непрерывна в 
и в точке интеграла 
принимает значения принадлежащие интегралу 
некоторой прямой T 
то функция f аналитически продолжается из 
в область 
причем значения 
при z 
симметричны со значениями 
относительно 
где 
= 
z 
точка симметричная W= z относительно Г, то функция 
.
Доказательство
Повернем плоскости 
и линейным преобразованием z=az+bw= 
выбрав их так чтобы интеграл в некоторый интеграл действительной оси плоскости . А примая Г перешла в действительную ось плоскости . Эти преобразования сохранили симметрию точек относительно преобразования прямых а также сохранили непрерывность и голоморфность, далее считаем что и интегралы действительной оси плоскости и соответственно в окрестности U(
) 
в 
функция fпредставляется степенным рядом. 
Определим в области 
. 
Показав что 
голоморфна в окрестности U(
) т 
симметрична точке 
. В силу непрерывности fв 
и того что fна 
.
Теперь легко видеть что 
z . Согласно лемме функция голоморфна в области . В этой области 
условию 
что означает симметрию относительно Г точек zи 
симметричных относительно 
. 
