Интегралы в смысле главного значения и их вычисление

Распространение теоремы на тот случай когда f имеет конечное число особых точек .

Опр: Главные значения от интеграла f(x) на  определены равенством: , где

Теор: Пусть f-голоморфна в замыкании полуплоскости  всюду за исключением конечного числа особых точек , лежащих в этой полуплоскости, и конечного числа полюсов  на действительной оси. Если , то

Целые и мероморные функции. Представление рациональной функции в виде суммы многочлена и простейших дробей.

 Опр: Ф-я называется целой, если она голоморфна в . Среди элементарных ф-й целыми являются полиномы, показательные, тригонометрические и гиперболические.

Отличная от постоянной целая ф-я  имеет на  или полюс или существует особая точка.

Утв: Целая ф-я с полюсом  является полиномом.

Действительно, если  - полюс порядка , то вычитая главную часть ее ряда Лорана в  получим целую ф-ю  с устранимой особенностью на , следовательно ограниченную в . Согласно теореме Лиувилля

 Итак  - полином.

Опр: Целая ф-я с существованием особой точкой на  называется целой трансцендентной ф-ей.

Утв: Целая трансцендентная ф-ия обозначается бесконечным степенным рядом  

Более общим, чем класс целых, является класс мероморфных ф-ий.

Опр: Мероморфной называют ф-ию, голоморфную в Сz всюду за исключением точек, в которых f имеет полюсы.

К числу мероморфных относятся рациональные, частное от деления целой на целую.

Теор: f- мероморфная с конечным числом полюсов с  является рациональной ф-ей.

Замеч: полученная ф-ла (1) дает представление рациональной ф-ии f в виде суммы  (целой части) и простейших дробей.