2018-02-13
230
Пусть голом. в обл. G 
ф-ия f имеет изолир. особую т. 
, конечн. или бесконечн. Тогда 
такое, что в 
ф-ия f голоморфна. Возьмем в окр. 
некот. односвяз. обл.G и ограничим спрямляемой замкнут. жорд. кривой. 
не зависит 
(
граница области G, ориентир. так, что при движ. по ней, обл. ост.слева).
Опред.1 Значение инт-ла (1) наз. вычетом ф-ии f в т. и обозн. 
. При нахождении вычета можно считать, что окр-ть с центром в т. и радиусом 
, если 
и окр-ть 
, если 
. Пусть . Разложим ф. f в в в ряд Лорана: 
и проинтегр. по 
В силу равномерной сх-ти ряда внутри инт-ие ряда по 
можно выполнить почленно. Получим 
Пусть , тогда в нек. окр-ти 
. ф. f разл. в ряд Лорана 
. Его почлен. интегр. по крив. 
. Итак, вычет ф. в клнечн. изолир. т. z равен коэфф. 
при 
в ряде Лорана этой ф-ии; если же , взятому с противоп. знаком коэфф. при 
.
Утв. Пусть , m-кратность полюса ф. f, тогда 
. В частности, если -простой полюс, то 
.
Замеч. 
, 
, 
голоморфные ф. в т. , 
, 
, тогда 
Теоремы Коши о вычетах
Теор.1 Пусть f(z)-ф-ия, голоморфная во всякой т. обл. G, кроме конечного числа особых точек z1,…zn, пусть также Г – спрямл. замкн. контур, содерж. внутри себя точки z1,…zn и целиком лежащ. в обл. G
Док-во: опишем из т. z1,…zn как в центрах окруж. наст. малыми, чтобы они попарно не пересек. и целиком лежали внутри Г, тогда f(z) будет голоморф. в каждой т. замкнут. обл., огранич. сложн. контуром 
… 
. По теор. Коши 
Теор.2 Пусть ф. f(z) голоморфна в пл. , за исключением конечного числа особых точек z1,…zn, тогда сумма ее вычетов во всех точках z1,…zn и вычета в бескон-ти равна нулю.
Док-во: При дост. большом 
все т. z1,…zn лежат внутри окр-ти 
. По теор.1 
, с другой стороны, этот же интеграл равен 
. В итоге 
