Пусть голом. в обл. G ф-ия f имеет изолир. особую т. , конечн. или бесконечн. Тогда такое, что в ф-ия f голоморфна. Возьмем в окр. некот. односвяз. обл.G и ограничим спрямляемой замкнут. жорд. кривой. не зависит ( граница области G, ориентир. так, что при движ. по ней, обл. ост.слева).
Опред.1 Значение инт-ла (1) наз. вычетом ф-ии f в т. и обозн. . При нахождении вычета можно считать, что окр-ть с центром в т. и радиусом , если и окр-ть , если . Пусть . Разложим ф. f в в в ряд Лорана: и проинтегр. по В силу равномерной сх-ти ряда внутри инт-ие ряда по можно выполнить почленно. Получим Пусть , тогда в нек. окр-ти . ф. f разл. в ряд Лорана . Его почлен. интегр. по крив. . Итак, вычет ф. в клнечн. изолир. т. z равен коэфф. при в ряде Лорана этой ф-ии; если же , взятому с противоп. знаком коэфф. при .
Утв. Пусть , m-кратность полюса ф. f, тогда . В частности, если -простой полюс, то .
Замеч. , , голоморфные ф. в т. , , , тогда
Теоремы Коши о вычетах
Теор.1 Пусть f(z)-ф-ия, голоморфная во всякой т. обл. G, кроме конечного числа особых точек z1,…zn, пусть также Г – спрямл. замкн. контур, содерж. внутри себя точки z1,…zn и целиком лежащ. в обл. G
Док-во: опишем из т. z1,…zn как в центрах окруж. наст. малыми, чтобы они попарно не пересек. и целиком лежали внутри Г, тогда f(z) будет голоморф. в каждой т. замкнут. обл., огранич. сложн. контуром … . По теор. Коши
Теор.2 Пусть ф. f(z) голоморфна в пл. , за исключением конечного числа особых точек z1,…zn, тогда сумма ее вычетов во всех точках z1,…zn и вычета в бескон-ти равна нулю.
Док-во: При дост. большом все т. z1,…zn лежат внутри окр-ти . По теор.1 , с другой стороны, этот же интеграл равен . В итоге