2018-02-13
164
Теор.1 В дополнение к условиям теор. Коши предположим, что ф. f не принимает нулевое значение на Г, и каждая т. z1,…zn – полюс ф-ии,тогда 
где N-число нулей, P-число полюсов ф. f, лежащих внутри Г, при этом кажд. нуль и кажд. полюс считается столько раз, сколько его кратность.
Опр. Отношение 
наз-ся логарифмич-ой произв-ой ф-ии f, 
логарифмическим вычетом ф. f в т. 
логар. вычетом ф. f относ-но контура Г. Лог. вычет имеет простой смысл, чтобы его раскрыть, перепишем инт-л в виде 
. Отметим на кривой Г произв. в т. 
, которую будем считать за нач. и конеч. т. пути интегрирования. 
будет непр. меняться и после обхода всей кривой, его значение в т. будет отличаться от исх. значений той же т. 
При одном и том же зн-ии 
значение 
могут различ-ся лишь благодаря разным знач-ям, припис-ым 
до и после обхода. Обозначая исходное значение аргумента через 
, найдем 
. Отсюда и из теор.1:
Теор.2(принцип аргумента) Разность м/у кол-вом нулей и полюсов ф. f(z), заключ-ых внутри замкнут. кривой Г, равна изменению аргумента 
при обходе т. z контура Г по полож. направл-ию, деленному на 
Следствие Если f(z) не имеет полюсов внутри Г, то кол-во нулей ф. f(z), заключ. внутри замк. кривой Г, равно числу полных оборотов вект. f(z) вокруг начала корд. при однократном обходе т. z контура в полож. направл-ии.
Теор Руше.
Теор.1 Если две ф-ии 
, голоморфные внутри и на контуре Г, удовл. на Г услов-ям 
, то внутри Г ф-ии 
и 
имеют одинаковое число нулей.
Док-во Поскольку 
, то 
, но 
, поэтому конец вектора, изображ. 
, описывает замкнут кривую, целиком заключ. внутри круга с центром в т.1 и радиуса 1. Сл-но, соотв. вектор не делает ни одного оборота вокруг начала координат, и изменение аргумента 
при обходе т. z кривой Г равно 0. Измен-ие 
совпадает с изм-ем 
, откуда по принц. аргум-та вытек. рав-во нулей ф-ий 
