Понятие об изогональных траекториях

Задача. Пусть на плоскости XOY задано однопараметрическое семейство кривых

(I) - . Найти уравнение семейства кривых (II) пересекающих кривые первого семейства под заданным постоянным углом . Семейство (II) называют изогональным семейству (I).

Решение.

Выведем д.у. первого семейства также как это делалось выше. Мы получим:

Пользуясь определением изогональности найдем связь между угловыми коэффициентами касательных и кривых семейств I и II в точках их пересечения. Пусть , и пусть X и Y координаты точек кривых семейства II. По формуле угла между 2-мя прямыми на плоскости получим:

Подставляя последние выражение в д.у. семейства кривых I получим д.у. искомого семейства II:

Интегральные кривые этого д.у. и будут искомыми изогональными кривыми.

Если то траектории называют ортогональными. В этом случае зависимость между и будет наиболее простой: , и, т.о. д.у. семейства ортогональных кривых запишется в виде: .

Пример. Найти ортогональные траектории к семейству парабол . Исключая С из системы получим тогда д.у. семейства ортогональных траекторий

интегрируя почленно.

-семейство подобных эллипсов.

Сказанное выше относится и к уравнениям вида:

(*)

но с небольшими дополнениями. Во-первых, (*) может иметь несколько решений, относительно :

(**)

и т.д.

Теорема Коши в отношении каждого уравнения обуславливает единственность и существование интегральной кривой, проходящей через . Поэтому, для (*) при выполнении дополнительного условия

через любую , в которой выполнены условия теоремы Коши для (*), проходит столько кривых, сколько решений имеет (*). Для (*) общее решение также зависит от одной константы:

Иногда, решение д.у. приводит к выражениям вида:

не разрешенных относительно y. Такое соотношение называют общим интегралом д.у.

Пример.

будет удовлетворено, если - общий интеграл.

- общее решение. Семейство изоклин для (*), найдем из соотношения , где

Особые точки и особые решения д.у..

Теорема Коши гарантирует существование решения д.у. , проходящего через , если:

a) непрерывна и б) - существует и ограничена.

Нарушение хотя бы одного условия может привести к тому, что решение может не существовать, либо оно может быть неединственным. Если теорема Коши нарушается только в отдельных изолированных точках, то они называются особыми точками д.у.. Поведение интегральных кривых в окрестности особых точек может быть различным (непредсказуемым).

Если же нарушение условий теоремы Коши имеет место вдоль некоторой кривой, то она может оказаться интегральной кривой данного д.у.. Такую интегральную кривую называют особой, а соответствующее решение – особым решением.

Опр. Решение д.у. первого порядка называется особым, если через любую точку его интегральной кривой проходит по крайней мере еще одна интегральная кривая того же д.у., имеющая в этой точке ту же касательную.

Особое решение, как правило, в общем решении не содержится, т.е. не может быть получено ни при каком выборе константы

Пример. - общее решение , проверяется подстановкой. Условия теоремы Коши нарушены на y=0 т.к.

Легко видеть, что y=0 – интегральная кривая, причем особая, т.к. через каждую ее точку проходит входящая в общее решение , касательной к которой служит y=0. Прямую же y=0 ни при каком С не получим.

7.5. Интегрирование простейших типов д.у. 1-го порядка.

7.5.1. Д.у. с разделяющимися переменными.

Д.у. с разделяющимися переменными называют такое, что разрешив его относительно получим для нее:

Т.к. - переменные разделены

Т.е. дифференциалы некоторых функций и и сами функции могут отличаться лишь на постоянную величину, то есть

- общий интеграл.

Иногда д.у. с разделяющимися переменными может быть в виде:

(A) или

Пример.

Однако переход от общего интеграла к общему решению не всегда возможен.

Замечание. При делении на возможна “потеря” решений (как в алгебре).

Если имеет действительные решения , то прямые - интегральные кривые д.у. . Последние решения могут входить или не входить в общее решение. Чаще всего они являются особыми. Для уравнений вида (A) интегральными будут прямые , где - корни , и , где корни . В разобранном примере прямые и являются интегральными и получаются из общего решения при С=0.

7.5.2. Однородные д.у. 1-го порядка.

Д.у. называется однородным, если, разрешив его относительно , получим функцию, зависящую только от отношения .

(B) , которое, заменой переменной преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными:

- найдя его общее решение и положив в нем , перейдем к общему решению (B).

Пример. ,

или или

Однородные уравнения часто задаются в виде:

() или

()

! Признак однородности () и (): M и N должны быть однородными функциями одного порядка т.е.:

(*)

где t – произвольный множитель, k – целое.

Положим в (*)

При решении (), () нет необходимости перехода к (В):

Пример.

Замечание.

Интегральные кривые однородного уравнения (любого) – семейство подобных кривых с центром подобия в начале координат. Чтобы убедиться в этом достаточно заметить, что изоклины (B) образуют пучок прямых, проходящих через О. Пусть

(**) - есть корни (**). А это ничто иное как уравнения прямых . Далее, строя приближенные ломанные, убедимся в правильности замечания.

Дополнительно к уравнениям с разделяющимися переменными:

Уравнения вида с помощью подстановки сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными.

7.5.3. Линейные уравнения 1-го порядка.

Д.у. 1-го порядка называются линейными, если и входят в это уравнение только в 1-й степени, не перемножаясь друг на друга. Общий вид:

Для интегрирования применим так называемый метод вариации произвольной постоянной. Проинтегрируем линейное однородное уравнение:

Решение же неоднородного линейного д.у. будим искать в виде

т.е. заменим С на u(x), которую необходимо найти. Т.о. константа заменяется переменной функцией, т.е. варьируется. Найдем и подставим в неоднородное уравнение: после приведения подобных получим:

- общее решение неоднородного линейного д.у. 1-го порядка.

Пример.

найти проходящую через точку

!!! Рассмотреть метод подстановки -

7.5.4. Уравнение Бернулли.

Уравнение вида , n – любое действительное число. При n=0 – линейное неоднородное, n=1 – линейное однородное. Уравнение Бернулли заменой , где новая неизвестная функция, преобразуется в линейное относительно z.

т.к. всякое линейное д.у. может быть проинтегрировано в квадратурах, то это справедливо и по отношению к д.у. Бернулли.

Практически, для интегрирования д.у. Бернулли нет необходимости предварительно преобразовывать его в линейное. Можно применить метод вариации произвольной постоянной, как и для линейного неоднородного.

Пример.

, найдем сначала решение д.у. .