Формула Остроградского-Лиувилля

Пусть  и  – решения (2), следовательно,

       .                                                              (3)
Умножим первое из этих уравнений на , а второе – на  и сложим их, получим
    ,                               ()
что равносильно
    .                                                  ()

Это означает, что  двух решений уравнения (2) есть одно из решений дифференциального уравнения (1). Рассмотрим уравнение

    .                                                                ()

Решая его, получим:

    .

Поскольку начальное условие  произвольно, то и  является фактически произвольной константой: .

    Так как определитель Вронского есть одно из решений (), то для него также справедлива следующая формула:

    .                                                             (4)

Формула Остроградского-Лиувилля справедлива для любых двух решений уравнения (2).

    Функция  непрерывна, следовательно,  и справедливо следующее утверждение: вронскиниан  либо тождественно равен нулю, если , либо не равен нулю ни при одном , если . Таким образом, определитель Вронского для фундаментальной системы решений не только тождественно не равен нулю, но и не обращается в ноль ни при одном . Существенной является непрерывность .