Теоремы о частных решениях

Рассмотрим неоднородное уравнение

(1)

и соответствующее однородное уравнение

. (2)

Теорема 1:

Разность любых двух частных решений уравнения (1) есть частное решение соответствующего однородного дифференциального уравнения.

Доказательство:

Пусть и – частные решения уравнения (1). Подставим в соответствующее однородное дифференциальное уравнение функцию вместе с ее производными:

Теорема доказана.

Теорема 2:

Если – частное решение уравнения (1), – частное решение соответствующего однородного уравнения, то

есть новое частное решение уравнения (1).

Доказательство:

Справедливы следующие соотношения:

значит,

Теорема доказана.

Из теорем 1 и 2 следует, что, взяв любое одно частное решение неоднородного уравнения (1) и прибавляя всевозможные частные решения однородного уравнения (2), получим все без исключения частные решения уравнения (1).

Определение: Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка есть сумма любого частного решения данного уравнения и общего решения соответствующего однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка:

где и есть линейно независимые частные решения уравнения (2).

Теорема 3:

Если правая часть уравнения (1) есть сумма двух функций и , и если есть частное решение уравнения (1) с правой частью , а – частное решение уравнения (1) с правой частью , то – частное решение уравнения (1) с правой частью .