Существование ФСР (2)

2 3 4 5 6 7 8

Теорема:

Любое однородное линейное дифференциальное уравнение имеет фундаментальную систему решений.

Доказательство:

Рассмотрим дифференциальное уравнение

и две системы начальных условий:

, , ,

, ,

где

Пусть и – частные решения соответствующих задач Коши. Докажем, что они образуют фундаментальную систему:

Теорема доказана.

Основная теорема:

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка является линейной комбинацией с произвольными постоянными коэффициентами любых двух решений этого уравнения, образующих фундаментальную систему решений. Другими словами, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка есть сумма двух частных решений линейно независимых решений, умноженных на произвольные постоянные.

Доказательство:

Пусть и – фундаментальная система решений. Составим линейную комбинацию

где , есть произвольные постоянные. Надо доказать, что любое частное решение можно получить из выбором и .

Пусть есть решение задачи Коши для начальных условий

, , .

Положим , тогда

отсюда

и .

Так как , то и есть общее решение.

Применение формулы Остроградского-Лиувилля

Зная одно частное решение (2), не равное нулю, можно с применением формулы Остроградского-Лиувилля найти фундаментальную систему и, следовательно, общее решение (2), вычислив два неопределённых интеграла.

Пусть есть известное решение и нужно найти . Так как и , то при получаем: