2018-02-14
328
Частное решение неоднородного уравнения - ξ2(t). Ищем ξ2(t) в виде гармонической функции изменяющейся с частотой внешнего воздействия ω:
.
Первая и вторая производные от этой функции также будут гармоническими функциями, изменяющиеся с частотой ω. Значит, в уравнении 14.5.3.5, в левой его части, будет сумма трех гармонических функций одинаковой частоты, справа - гармоническая функция той же частоты, т.е. сумма трех колебаний одной частоты равна четвертому колебанию той же частоты. Задачу о сложении колебаний мы решим методом векторных диаграмм (14.3.1.), для этого 
и 
, после нахождения этих производных, запишем с помощью функции косинуса:
.
Векторная диаграмма
Изобразим эти колебания с помощью векторов (14.3.1.), амплитуды которых получаются после умножения на 2β, а - ξ на ω20.
.
В отличие от (14.3.2) вправо направим вектор длиной ω20A, изображающий функцию ω20A · Cos(ωt - φ), начальная фаза которой равна "минус фи".
Резонанс
Т.к. 
,
то
.
Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний изменяется с изменением частоты внешнего воздействия. При определенной частоте амплитуда достигает максимума. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота - ωрез - резонансной. Для определения ωрез исследуем функцию A(ω) на максимум, для этого достаточно найти минимум знаменателя у выражения A(ω). Возьмем от него производную по и приравняем к нулю:
|
|
|
,
откуда:
.
При 2β2 > ω20 резонанс отсутствует (ωрез - мнимое число).
Амплитуда при резонансе
Амплитуда при резонансе получается при подстановке найденного выражения ωрез в формулу для A(ω).
.
При β << ω0:
.
При ω = 0 отклонение системы от положения равновесия
.
Найдем отношение Aрез / A0 при условии β << ω0:
,
здесь Q - добротность.
Добротность показывает (при β << ω0) во сколько раз амплитуда при резонансе больше смещения при ω = 0.
Резонансные кривые
График зависимости A(ω) при различных β носят название резонансных кривых.
β1 < β2 < β3, 2β23 > ω20, в этом случае резонанса нет.
Основные определения
