2018-02-14
721
Пусть в начале координат находится твердая плоскость, которая колеблется по гармоническому закону и вынуждает частицы упругой среды, находящейся рядом с ней, колебаться по этому же закону. Направим ось x перпендикулярно этой плоскости. Тогда вдоль этой оси будет распространяться плоская гармоническая продольная волна. Наша задача - найти 
- уравнение волны, если задано 
.
Колебания до волновой поверхности, удаленной от начала координат на расстояние x, дойдут через время 
, значит уравнение волны
.
Фаза волны
- это аргумент у косинуса в уравнении волны, т.е.
,
Фаза плоской волны зависит от двух переменных - x и t.
Фазовая скорость
- это скорость перемещения в пространстве поверхности, вдоль которой фаза волны (15.2.1) остается постоянной, т.е.
.
Найдем производную от этого выражения по времени:
,
откуда искомая фазовая скорость волны:
.
Уравнение плоской волны,
распространяющейся в направлении, противоположном оси x:
.
Из (15.2.2) для этой волны:
.
Волновое число, симметричная форма уравнения волны
|
|
|
.
Введем
- волновое число.
Тогда
.
При такой записи координата х и время t входят в уравнение волны симметрично.
Связь волнового числа с длиной волны
.
Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении. Волновой вектор
,
здесь 
- волновой вектор,
- скалярное произведение волнового вектора и радиус-вектора.
Волновое уравнение
Применяя второй закон Ньютона (4.6) к упругой среде, можно получить дифференциальное уравнение в частных производных, решением которого будет уравнение волны. Логическая схема этого вывода такова:
Вывод закона Гука для бесконечно малого упругого стержня
Выделим элемент упругого стержня, длиной Δx.
Закрепим левую часть этого элемента (второй рисунок), правую сместим на величину Δξ вдоль оси x.
- закон Гука.
Здесь коэффициент kупр, характеризующий упругость стержня, зависит от материала стержня, его длины и площади сечения.
