Колебания. Волны.
Понятие о колебательных процессах
Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени.
Примеры колебаний:
1. колебание величины заряда на обкладках конденсатора в колебательном контуре;
2. колебание грузика, закрепленного на пружине;
3. колебание маятника.
Гармонические колебания
Гармонические колебания - это такие колебания, при которых колеблющаяся величина x изменяется со временем по закону синуса, либо косинуса:
,
или
где A - амплитуда;
ω - круговая частота;
α - начальная фаза;
(ωt + α) - фаза.
Фаза колебания
Фаза колебания - это аргумент гармонической функции: (ωt + α). Начальная фаза α - это значение фазы в начальный момент времени, т.е. при t = 0.
Амплитуда колебания
Амплитуда колебания A - это наибольшее значение колеблющейся величины.
14.1.1.3. Круговая или циклическая частота ω
При изменении аргумента косинуса, либо синуса на 2π эти функции возвращаются к прежнему значению. Найдем промежуток времени T, в течение которого фаза гармонической функции изменяется на 2π.
|
|
ω (t + T) + α = ωt + α + 2π,
или
ωT = 2π.
.
Время T одного полного колебания называется периодом колебания. Частотой ν называют величину, обратную периоду
.
Единица измерения частоты - герц (Гц), 1 Гц = 1 с-1.
Так как
,
то
.
Круговая, или циклическая частоты ω в 2π раз больше частоты колебаний ν. Круговая частота - это скорость изменения фазы со временем. Действительно:
.
График гармонического колебания
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний
Колеблющиеся системы
Рассмотрим колебания в трех системах:
а) колебания заряда в колебательном контуре L,C;
б) колебания грузика, прикрепленного к пружине;
14.2.2 Колеблющиеся величины | ||
q - заряд | x - координата грузика | φ - угол отклонения |
14.2.3. Уравнения движения | ||
Закон Ома (10.7) | Второй закон Ньютона (4.6) | Уравнение динамики вращательного движения (7.3) |
14.2.4. Применим закон движения, т.е. учтем особенности наших систем: | ||
Используя другое обозначение производной получим после несложных преобразований: | ||
в) колебание физического маятника - любого тела, совершающего колебания вокруг горизонтальной оси, не проходящей через его центр тяжести.
Мы получили дифференциальные уравнения, описывающие движения наших систем. В первых двух случаях уравнения одинаковы по форме, в третьем случае второй член уравнения содержит не φ, а Sin φ. Если рассматривать только малые отклонения маятника от положения равновесия, то тогда, при φ << 1, Sin φ ≈ φ и мы имеем:
|
|
.
Введем обозначения:
, | , | , |
, | , | . |
Дифференциальное уравнение колебательного движения
Для всех трех рассмотренных случаев имеем одно и то же дифференциальное уравнение колебательного движения
.