2018-02-14
769
Введем:
- нормальное напряжение,
- относительная деформация.
При Δx → 0
.
Перепишем 
, выразив F и Δξ через σ и ε:
или
.
Модуль Юнга
Величина 
не зависит от длины и сечения стержня, она определяется только упругими свойствами материала, ее называют модулем Юнга материала:
.
Закон Гука
Тогда связь нормального напряжения σ и относительной деформации ε будет иметь вид:
.
Это выражение тоже носит название закона Гука.
15.3.2. Вывод волнового уравнения из 
.
Пусть волна распространяется вдоль упругого стержня. Рассмотрим элемент этого стержня, его длина равна Δx в невозмущенном состоянии. Пусть при распространения волны левая часть этого элемента сместится на величину ξ(x), а правая - на величину ξ(x + Δx), не равную смещению левой части.
.
В нашем примере стержень растянут внешними силами:
Сумма этих сил равна:
.
Домножим и поделим последнее выражение на Δ x. Величина
при Δx → 0 дает вторую производную от "кси" по x, т.е. 
.
Тогда 
.
Масса нашего элемента 
, его ускорение (3.10)
,
тогда преобразуется в
,
или
- волновое уравнение.
Проверим, будет ли 
его решением.
Откуда
.
Т.к. 
(15.2.4), то фазовая скорость упругой продольной волны:
,
и волновое уравнение можно записать в виде:
.
Для волны, распространяющейся в произвольном направлении (15.2.5) волновое уравнение имеет вид:
.
Энергия упругой волны
Найдем полную механическую энергию (5.8.2) для выделенного нами элемента упругой среды, в которой распространяются упругая продольная волна:
.
Скорость (3.8.2):
,
тогда
.
Потенциальная энергия упругого деформированного стержня:
.
Полная энергия выделенного элемента объемом SΔx будет равна:
.
Плотность энергии упругой волны
.
Плотность энергии упругой гармонической волны
Среднее по времени значение плотности энергии упругой гармонической волны
, это известно из математики, значит:
.
Поток энергии
Плотность потока энергии
Вектор Умова - связь плотности потока энергии с плотностью энергии упругой волны
Интенсивность волны
- это среднее по времени от модуля вектора плотности потока энергии:
.
Для гармонической волны:
.
Стоячие волны
При наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой возникает колебательный процесс, называемый стоячей волной. При этом переноса энергии не происходит.
