Решение линейной стационарной системы в пространстве состояний

1 2 3 4 5 6 7

1)проверяем 1-е условие для переходной матрицы:

(да, условие выполняется)

2)граничное условие

Воспользуемся аппаратом линейной алгебры. Рассмотрим простой случай, когда матрица А является диагональной.

Приведем А к диагональному виду. ; -собственный вектор соответствующего собственного значения .

Из столбцов составим матрицу векторов:

(преобразование подобия)

Справедливо для целых степеней -

3.2)

Алгоритм:

1)Отыскиваются собственные значения матрицы (корни хар-го выражения)

2)Отыскиваем собственные вектора по выражению . Строим матрицу

3)Подставляем в

Условия управляемости и наблюдаемости Гильберта для систем, состоящих из подсистем.

111

4 5 6 7 8 13 17 18 19 22 33 34 35 36 37 44 45

Пусть система состоит из следующих подсистем:

- полностью управляема и наблюдаема;

– управляема, но не наблюдаема;

- не управляема и ненаблюдаема;

– не управляема, но наблюдаема.

Условие Гилберта может исследовать соединения: последовательные, параллельные и с обратной связью.

Последовательное соединение.

: :

Необходимым условием наблюдаемости является наблюдаемость каждой подсистемы, т.е. и . Если и полностью наблюдаемы, а не является наблюдаемой, то ее наблюдаемое решение принадлежит . Необходимое условие управляемости является управляемость и . Если не управляема, то неуправляемое движение принадлежит .

Параллельное соединение.

Описание :

Условие наблюдаемости и управляемости всей системы заключается в наблюдаемости и управляемости каждой подсистемы.

С обратной связью.

Необходимым и достаточным условием наблюдаемости замкнутой системы является наблюдаемость вспомогательной системы в виде последовательного соединения. Если и полностью наблюдаемы, то ненаблюдаемое движение S является ненаблюдаемым движением и порождается подсистемой .

7.1) Рассмотрим SISO (1 вх и 1 вых), цель – придать замкнутой системе желаемый вид.

u(t)=g(t)-v(t)

G=[g₁,g₂,…,g_n]

v(t)=g₁x₁(t)+ g₂x₂(t)+…+ g_nx_n(t)

, разомкнутая система g(t)=0 (в свободной системе)

Замыкание:

(1)

Пусть желаемое расположение корней, тогда

(S-λ₁) (S-λ₂)… (S-λ_n)=0 (2)

Раскрываем определитель (1), раскрывается (2) и получаем n штук алгебр урав-ий, приравнивая коэф-ты при одинаковых степенях s в (1) и (2). Из (1) n-штук неизвестных коэфф-ов, которые дают n штук ур-ий и из этой сис-мы находим коэфф-ты g_i.

При завышенных требованиях коэффициенты м.б. очень большими, т.е. область линейности (огран.), не позволит реализоваться сигналам (v(t)), т.е. нужен огромный сигнал на выходе, что нереализуемо на практике. Также нужно иметь информацию о вект. сост. x(t), а это нереально (нужно иметь n датчиков);