Понятие фазовой плоскости, фазовой траектории и фазового портрета

Дифференциальное уравнение системы автоматического управления может быть преобразовано в систему n дифференциальных уравнений 1-го порядка

(7.1)                      

с начальными условиями x_i(0). Величины x_i(t) можно рассматривать как координаты некоторой точки М, называемой изображающей точкой, в n – мерном пространстве. Изображающая точка при изменении координат описывает в этом пространстве некоторую кривую, которая называется фазовой траекторией. Совокупность фазовых траекторий, полученных при различных начальных условиях, называется фазовым портретом системы. Наглядное представление фазовых траектория возможно только для систем, порядок которых не выше второго, или для систем, которые могут быть сведены к системам второго порядка. Исследование поведения нелинейных систем, ниже излагаемым методом, возможно только для автономных стационарных систем. Система является автономной, если ее правая часть явно не зависит от времени.

Уравнение автономной системы 2-го порядка можно записать в виде

(7.2) Полагая   получим                                         

 (7.3)

10.2) Фазовыми координатами являются выходная переменная системы x₁ и скорость ее изменения x₂. Разделим второе уравнение системы на первое и получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий

(7.4)                                                    

Уравнение (7.4) однозначно определяет касательную к фазовой траектории во всех точках, кроме тех, в которых одновременно выполняются равенства

      (7.5)                                                          

В этих точках, которые называются особыми точками, не существует определенного направления касательной к траектории. В особых точках фазовые координаты равны нулю, следовательно, в этих точках система находится в положении равновесия.