Классификация математических моделей. Примеры

 

Математическая модель представляет собой формальные описания основных закономерностей исследуемой системы (тех. устройства, технологического процесса и т.п.) в виде математических уравнений и неравенств, позволяющих судить о поведении изучаемой системы в натуральных условиях.

Моделирование – метод исследования сложных агрегатов и процессов на моделях.

К модели как инструменту познания объекта предъявляются следующие требования, при которых модель должна полностью соответствовать моделируемому объекту.

1. Обладать свойством эволюционности.

2. Удовлетворять по степени сложности и абстрактности требованиям практической полезности модели.

3. Предусматривать возможность проведения численных решений с применением вычислительной техники.

4. Допускать опытную проверку соответствия модели исследуемому объекту.

Различают детерминированное и вероятностное моделирование.

К детерминированным относятся наглядные модели (гипотезы, схемы, знаковые (химические, графовые), матмодели (схемы замещения, экономические модели, программы ЭВМ).

К вероятностным относят натурные (производственный эксперимент), физические (действующие модели приборов, тренажеры и т.д.), и мат модели (аналоговые, структурные, функциональные, кибернетические) модели.

Математическое моделирование исследовательских систем в машиностроении можно разделить на направления:

1. Матмоделирование на основе схем. принципа оптимизации, предполагающего возможность и необходимость целенаправленного регулирования.

2. Матмоделирование систем на основе принципа имитации, позволяющего выявить закономерности динамики функционирования, влияние каждого определенного фактора, установить недостатки, преимущества, резервы и пути повышения эффективности и на этой основе корректировать прогноз изучаемых систем.

В структуру модели оптимизации включены следующие элементы.

1. Переменные – величины, оптимальные значения которых необходимо найти в процессе решения модели.

2. Параметры – постоянные величины, которые в процессе всего решения остаются неизменными, и модели которых, как правило, представлены оптимальными.

3. Критерий оптимальности – принятый показатель меры эффективности исследуемой системы, величина которого при экстремальной значении целевой функции определяет оптимальное решение для заданных условий, т.е. оптимальное значение переменных.

4. Ограниченные области возможных переменных, заданных конкретными условиями изучаемой системы.

 

 

Пример.

Матмодель оптимизации плана производства различных видов изделий.

                                        (1)

(i = 1,2,3…k; j = 1,2,3…m)

где F – трудоемкость изготовления всех изделий, станкочасы,

m – количество видов изделий,

k – число групп оборудования,

d_ij – норма времени (трудоемкость) на i-той группе оборудования, станкочасы,

х_j – количество изделий j-того вида,

b_i – располагаемый фонд времени работы i-той группы оборудования, станкочасы.

 

Одним из видов модели имитации являются математико-статистические модели, в которых различают следующие элементы.

1. Независимые переменные (факторы, показатели), значения которых характеризуют исследуемых закономерностей системы объекта и задаются условиями задачи.

2. Параметры – постоянные величины модели, значения которых характеризуют влияние изменения каждой независимой переменной на величину главного исследуемого показателя (фактора) и определяются в процессе построения модели.

3. Главный фактор (показатель) – переменная величина модели, значение которой зависит от значения независимой переменной.

4. Функция – уравнение, связывающее главный фактор с независимыми переменными и параметрами.

 

y=a₀ + a₁x₁ + a₂x₂+ a₃x₃+ a₄x₄+ a₅x₅+ a₆x₆

где y – среднеквадратическое отклонение диаметрального размера

х₁ – предел текучести

х₂ – временное сопротивление

х₃ – относительное удлинение

х₄ – относительное сужение

х₅ – ударная вязкость

х₆ – твердость по Бриннелю

а₀ – а₆ – коэффициенты

 

Виды математических моделей технических объектов.

По виду представления:

1. Инвариантные

2. Алгоритмические

3. Аналитические

4. Графические

По характеру отображения свойств исследуемого объекта.

1. Функциональные.

2. Структурные

По степени абстрагирования.

1. Матмодель микроуровня.

2. Матмодель макроуровня.

3. Матмодель метоуровня.

По способу получения.

1. Теоретические

2. Экспреиментально-факторные.

По учету физических свойств объекта.

1. Динамические

2. Статические

3. Непрерывные

4. Дискретные

5. Линейные

6. Нелинейные

По способу прогнозирования результатов.

1. Детерминированные

2. Вероятностные.

В инвариантной форме модель представляется системой уравнений вне связи с методом решения в алгоритмической форме соотношение модели связано выбором численных методов решения и записанных в алгоритме.

Аналитическая модель представляет собой явные зависимости искомых величин.

Графическая модель представляется в виде графов, эквивалентных схем, диаграмм и т.д.

Функциональные модели описывают процессы функционирования технологических объектов и имеют форму систем уравнений.

Структурные модели отображают только структуру объекта и используются при решении задач структурного синтеза.

На микроуровне объект представляется как сложная среда с распределенными параметрами, для описания используются уравнения частных производных.

На макроуровне объект представляют как динамическую систему с соредоточенными параметрами.

Метауровень соответствуют начальным стадиям проектирования, на которых осуществляется научно-технический поиск и прогнозирование.

Теоретическую модель получают на основе физических процессов функционирования объекта.

Экспериментальую модель получают на основе изучения поведения объекта во внешней среде, рассматривая его как кибернетический черный ящик.

Линейные модели содержат только линейные функции фазовых переменных и их производных.

Матмодели объектов, включающие нелинейные функции базовых переменных и (или) их производных относятся к нелинейным.

Если при моделировании учитываются инерционные свойства объекта и (или) изменение во времени параметров объекта или внешней среды, модель называют инерционной, в противном случае – модель статическая.

Анализ функционирования объекта требует построения вероятностной модели.

Детерминированная матмодель характеризуется взаимнооднозначным соответствием между внешним воздействием на динамическую систему и ее реакцией на это воздействие.