Закон сохранения импульса. Реактивное движение. Центрмасс

Механической системой тел называют группу тел, движение которых рассматривается совместно в конкретной задаче. Импульс механической системы, , равен векторной сумме импульсов всех тел системы:

, (4.2)

где - импульс тела системы, имеющего номер i

При взаимодействиител импульс одного тела может частично или полностью передаваться другому телу. Если на систему тел не действуют внешние силы со стороны других тел, не входящих в механическую систему, такая система называется замкнутой.

В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.

Этот фундаментальный закон природы называется законом сохранения импульса. Он является следствием из второго и третьего законов Ньютона.

Рассмотрим какие-либо два взаимодействующих тела, входящих в состав замкнутой системы. Силы взаимодействия между этими телами обозначим через и . По третьему закону Ньютона. . Если эти тела взаимодействуют в течение времени t, то импульсы сил взаимодействияодинаковы по модулю и направлены в противоположные стороны: . Применим к этим телам второй закон Ньютона:

;

где и - импульсы тел в начальный момент времени, и - импульсы тел в конце взаимодействия.

Из этих соотношений следует:

Это равенство означает, что в результате взаимодействия двух тел их суммарный импульс не изменился.

Рассматривая теперь всевозможные парные взаимодействия тел, входящих в замкнутую систему, можно сделан, вывод, что внутренние силы замкнутой системы не могут изменить ее суммарный импульс, т. е. векторную сумму импульсов всех тел. входящих в эту систему.

Рис. 4.3 иллюстрирует закон сохранения импульса на примере нецентрального соударения двух шаров разных масс, один из которых до соударения находился в состоянии покоя.

Рис. 4.3. Нецентральное соударение шаров различной массы

1–импульсы до соударения;2–импульсы после соударения;3–диаграмма импульсов.

Изображенные на рис. 4.3 вектора импульсов шаров до и после соударения можно спроектировать на координатные оси ОХ и ОУ. Закон сохранения импульса выполняется и для проекций векторов на каждую ось. В частности, из диаграммы импульсов (рис. 4.3) следует, что проекции векторов и импульсов обоих шаров после соударения на ось (OY) должны быть одинаковыми по модулю и иметь разные знаки, чтобы их сумма равнялась нулю.

Обобщая закон сохранения импульса на случай многих тел, образующих механическую систему тел, можно записать

, или

, (4.4)

Закон сохранения импульса в некоторых случаях удается использовать и для незамкнутых механических систем:

Внешние силы действуют, но равнодействующая внешних сил равна нулю. Например,

тело лежит на горизонтальной плоскости. В этом случае на тело действуют внешние силы: сила реакции опоры и сила тяжести. Эти силы уравновешены. Если вдоль горизонтальной оси не действуют внешние силы, то импульс сохраняется как для оси оу, так и для оси ох.

Внешние силы действуют лишь вдоль одной из осей координат. Тогда вдоль другой оси импульс сохраняется. Например, тело совершает движение над поверхностью Земли. В этом случае внешней силой является сила тяжести. Она будет изменять скорость вдоль оси оу. Импульс вдоль оси оу сохраняться не будет. Если вдоль горизонтального направления не действуют внешние силы, то для оси ох импульс сохраняется.
Внешние силы действуют на тело, но время действия этих сил настолько мало, что изменением импульса тела за это время можно пренебречь. Примером может служить взрыв и упругий удар. Если же время действия силы F дано в условии задачи, то для использования закона сохранения импульса необходимо, чтобы импульс внешней силы был значительно меньше импульсов других сил, действующих на тело. Например, при упругом соударении шаров в воздухе должно выполняться неравенство .

Закон сохранения импульсаво многих случаях позволяет находить скорости взаимодействующих тел даже тогда, когда значения действующих сил неизвестны. Примером может служить реактивное движение. Реактивным называют такое движение, когда часть тела отделяется от первоначально целого тела.

При стрельбе из орудия возникает отдача - снаряд движется вперед, а орудие откатывается назад. Снаряд и орудие - два взаимодействующих тела. Скорость, которую приобретает орудие при отдаче, зависит только от скорости снаряда и отношения масс (рис. 4.4). Если скорости орудия и снаряда обозначить через и , а их массы через М и т, то на основании закона сохранения импульса можно записать в проекциях на ось ох

, откуда получаем

Рисунок 4.4. Отдача при выстреле из орудия.

На принципе отдачи основано реактивное движение. В ракетепри сгорании топлива газы, нагретые до высокой температуры. выбрасываются из сопла с большой скоростью относительно ракеты.

Обозначим массу выброшенных газов через т. а массу ракеты после истечения газов через М. Тогда для замкнутой системы «ракета + газы» можно записать на основании закона сохранения импульса

где V - скорость ракеты после истечения газов.

Здесь предполагалось, что начальная скорость ракеты равнялась нулю. Полученная формула для скорости ракеты справедлива лишь при условии, что вся масса сгоревшего топлива выбрасывается из ракеты одновременно. На самом деле истечение происходит постепенно в течение всего времени ускоренного движения ракеты. Каждая последующая порция газа выбрасывается из ракеты, которая уже приобрела некоторую скорость.

Для получения точной формулы процесс истечения газа из сопла ракеты нужно рассмотреть более детально. Пусть ракета в момент времени t имеет массу М и движется со скоростью (рис. 4.5). В течение малого промежутка времени из ракеты будет выброшена некоторая порция газа с относительной скоростью . Ракета в момент будет иметь скорость , а ее масса станет равной , (рис. 4.5). Масса выброшенных газов будет, очевидно, равна . Скорость газов в инерциальной системе ох будет равна

Применим закон сохранения импульса. В момент времени импульс ракеты равен , а импульс испущенных газов равен В момент времени t импульс всей системы был равен М Предполагая систему «ракета + газы» замкнутой, можно записать:

или

Величиной можно пренебречь, так как Разделив обе части последнего соотношения на получим при малых

или

Величина - расход топлива в единицу времени.

Рис.4.5. Ракета, движущаяся в свободном пространстве (без гравитации).

Величина называется реактивной силой тяги . Реактивная сила тяги действует на ракету со стороны истекающих газов, она направлена в сторону, противоположную относительной скорости. Соотношение

выражает второй закон Ньютона для тела переменной массы. Если газы выбрасываются из сопла ракеты строго назад (рис. 4.5), то в скалярной форме это соотношение принимает вид:

где u - модуль относительной скорости. С помощью математической операции интегрирования из этого соотношения можно получить формулу для конечной скорости v ракеты:

где - отношение начальной и конечной масс ракеты. Эта формулa называется формулой Циолковского. Из нее следует, что конечная скорость ракеты может превышать относительную скорость истечения газов. Следовательно, ракета может быть разогнана до больших скоростей, необходимых для космических полетов. Но это может быть достигнуто только путем расхода значительной массы топлива, составляющей большую долю первоначальной массы ракеты. Например, для достижения первой космической скорости м/с при и= 3*10³ м/с (скорости истечения газов при сгорании топлива бывают порядка 2-4 км/с) стартовая масса одноступенчатой ракеты должна примерно в 14 раз превышать конечную массу. Для достижения конечной скорости v = 4и отношение должно быть равно 50.

Значительное снижение стартовой массы ракеты может быть достигнуто при использовании многоступенчатых ракет, когда ступени ракеты отделяются по мере выгорания топлива. Из процесса последующего разгона ракеты исключаются массы контейнеров, в которых находилось топливо, отработавшие двигатели, системы управления и т. д. Именно по пути создания экономичных многоступенчатых ракет развивается современное ракетостроение.

Центром масс системы называется точка, положение которой в пространстве задается радиусом – вектором , определяемым следующим образом (рис.4.6):