Тема 5. Системы эконометрических уравнений

 

Система уравнений в эконометрических исследованиях мо­жет быть построена по-разному.

Возможна система независимых уравнений, когда каждая зави­симая переменная (у) рассматривается как функция одного и то­го же набора факторов (x):

Набор факторов x_i в каждом уравнении может варьировать.

Каждое уравнение системы независимых уравнений может рассматриваться самостоятельно. Для нахождения его парамет­ров используется метод наименьших квадратов. По существу, каждое уравнение этой системы является уравнением регрессии.

Однако если зависимая переменная y одного уравнения вы­ступает в виде фактора xв другом уравнении, то исследователь может строить модель в виде системы рекурсивных уравнений:

В данной системе зависимая переменная у включает в каждое последующее уравнение в качестве факторов все зависимые пе­ременные предшествующих уравнений наряду с набором собст­венно факторов х. Как и в предыдущей системе, каждое уравнение может рас­сматриваться самостоятельно, и его параметры определяются ме­тодом наименьших квадратов (МНК).

Наибольшее распространение в эконометрических исследо­ваниях получила система взаимозависимых уравнений (система совместных, одновременных уравнений, структурная форма модели – СФМ). Вней одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в ле­вую часть, а в других уравнениях - в правую часть системы:

Каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для на­хождения его параметров традиционный МНК неприменим. С этой целью используются специальные приемы оценивания.

Система совместных, одновременных уравнений (или струк­турная форма модели) обычно содержит эндогенные и экзоген­ные переменные. Э догенные переменные обозначены в приведенной ранее системе одновременных уравнений как у. Это зависимые пере­менные, число которых равно числу уравнений в системе. Экзогенные переменные обозначаются обычно как х. Это пре­допределенные переменные, влияющие на эндогенные перемен­ные, но не зависящие от них.

Простейшая структурная форма модели имеет вид:

где у - эндогенные переменные;  x — экзогенные переменные.

Структурная форма модели в правой части содержит при эн­догенных и экзогенных переменных коэффициенты b _i и а_j (b _i -коэффициент при эндогенной переменной, а_j — коэффициент при экзогенной переменной), которые называются структурными коэффициентами модели. Все переменные в модели выражены в отклонениях от среднего уровня, т. е. под xподразумевается x— а под у — соответственно у - . Поэтому свободный член в каждом уравнении системы отсутствует.

Использование МНК для оценивания структурных коэффи­циентов модели дает, как принято считать в теории, смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели.

Приведенная форма модели (ПФМ) представляет собой систему ли­нейных функций эндогенных переменных от экзогенных:

где δ_t — коэффициенты приведенной формы модели.

По своему виду приведенная форма модели ничем не отлича­ется от системы независимых уравнений, параметры которой оцениваются традиционным МНК. Применяя МНК, можно оце­нить δ, а затем оценить значения эндогенных переменных через экзогенные.

Коэффициенты приведенной формы модели представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной формы мо­дели.

Для структурной модели вида

                                          

 приведенная форма модели имеет вид

                                       

При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Иден­тификация — это единственность соответствия между приведен­ной и структурной формами модели.

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

• Идентифицируемые (структурные коэффици­енты СФМ определяются однозначно, единственным образом по коэф­фициентам ПФМ, т. е. если число парамет­ров СФМ равно числу параметров ПФМ);

• Неидентифицируемые (число коэф­фициентов ПФМ меньше числа структурных коэффициентов СФМ, и в ре­зультате структурные коэффициенты не могут быть оценены че­рез коэффициенты приведенной формы модели);

• Сверхидентифицируемые (число ко­эффициентов ПФМ больше числа структурных коэффициентов СФМ. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно по­лучить два или более значений одного структурного коэффици­ента).

Сверхидентифицируемая модель в отличие от неидентифицируемой модели практически решаема, но требует для этого специальных методов исчисления параметров.

Модель считается идентифицируемой, если каж­дое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель счита­ется неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель со­держит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

Выполнение условия идентифицируемости модели проверя­ется для каждого уравнения системы. Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутству­ющих в системе (Н), было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении (D) без одного.

D + 1 = H— уравнение идентифицируемо;

D + 1 < H — уравнение неидентифицируемо;

D + 1 > H— уравнение сверхидентифицируемо.

Рассмотренное счетное правило отражает необходимое, но недостаточное условие идентификации. Более точно условия идентификации определяются, если накладывать ограничения на коэффициенты матриц параметров структурной модели. Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем пе­ременным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициен­тов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного.

Целесообразность проверки условия идентификации модели через определитель матрицы коэффициентов, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в других, объясняется тем, что возможна ситуация, когда для каждого уравнения систе­мы выполнено счетное правило, а определитель матрицы назван­ных коэффициентов равен нулю. В этом случае соблюдается лишь необходимое, но недостаточное условие идентификации.

Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение в литературе получили следующие методы оценивания коэффициентов структурной модели:

· косвенный метод наименьших квадратов (КМНК);

· двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК);

· трехшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК);

· метод максимального правдоподобия с полной информацией (ММП_f);

· метод максимального правдоподобия с ограниченной информацией (ММП_s).

Косвенный и двухшаговый методы наименьших квадратов подробно описаны в литературе и рассматриваются как традиционные методы оценки коэффициентов структурной модели. Эти методы достаточно легко реализуемы. Косвенный метод наименьших квадратов применяется для идентифицируемой системы одновременных уравнений, а двухшаговый метод наименьших квадратов – для оценки коэффициентов сверхидентифицируемой модели. Перечисленные методы оценивания также используются для сверхидентифицируемых систем уравнений.

 Метод максимального правдоподобия рассматривается как наиболее обширный метод оценивания, результаты которого при нормальном распределении признаков совпадают с МНК. Однако при большом числе уравнений системы этот метод приводит к достаточно сложным вычислительным процедурам. Поэтому в качестве модификации используется метод максимального правдоподобия при ограниченной информации (метод наименьшего дисперсионного отношения), разработанный в 1949 г. Т. Андерсоном и Н. Рубинным.