Тема 6. Моделирование одномерных временных рядов

Для отображения динамики строят временные ряды, которые представляют собой ряды изменяющихся во времени значений статистического показателя, расположенных в хронологическом порядке. Уровни ряда обычно обозначаются через «у», моменты или периоды времени, к которым относятся уровни, - через «t». Существуют различные виды временных рядов. Их можно классифицировать по следующим признакам.

1.В зависимости от способа выражения уровней ряды динамики подразделяются на ряды абсолютных, относительных и средних величин.

2.В зависимости от того как выражают уровни ряда состояние явления на определенные моменты времени (на начало месяца, квартала, года и т.п.) или его величину за определенные интервалы времени(например, за сутки, месяцы, год и т.

3.В зависимости от расстояния между уровнями ряды динамики подразделяются на ряды динамики с равноотстоящими уровнями и неравноотстоящими уровнями во времени.

4.В зависимости от наличия основной тенденции изучаемого процесса ряды динамики подразделяются на стационарные и нестационарные.

Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

• факторы, формирующие тенденцию ряда;

• факторы, формирующие циклические колебания ряда;

• случайные факторы.

Очевидно, что реальные данные не следуют целиком и полно­стью из каких-либо описанных выше моделей. Чаще всего они содержат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.

В большинстве случаев фактический уровень временного ря­да можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой вре­менной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в ко­торой временной ряд представлен как произведение перечислен­ных компонент, называется мультипликативной моделью времен­ного ряда. Основная задача эконометрического исследования от дельного временного ряда — выявление и придание количествен­ного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогно­зирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

Важнейшим условием правильного формирования времен­ных рядов является сопоставимость уровней, образующих ряд. Уровни ряда, подлежащие изучению, должны быть однородны по экономическому содержанию и учитывать существо изучае­мого явления и цель исследования.

Статистические данные, представленные в виде временных рядов, должны быть сопоставимы по территории, кругу охва­тываемых объектов, единицам измерения, моменту регистрации, методике расчета, ценам, достоверности.

В таблице перечислены основные причины несопоставимости данных, наиболее часто встречающихся на практике, а также приведены пути устранения таких причин.

№ п/п	Причина несопоставимости	Необходимые аналитические действия
1.	Различные единицы измерения	Приведение данных к одинаковым единицам измерения с помощью специально рассчитанных коэффициентов.
2.	Различные территориальные или административно-ведомственные границы объекта в различные периоды времени	Выделение одного и того же круга единиц изучаемой совокупности путем включения дополнительных либо устранения лишних объектов, а затем пересчет новых уровней ряда для единых территориальных или административно-ведомственных границ, либо применение вторичных группировок, либо применение метода смыкания, либо приведение к единому основанию.
3.	Различная методология исчисления значений показатели в различные периоды времени	Пересчет значений признака по единой методологии с помощью получения первичных расчетных данных и применения новой методологии, либо применение метода смыкания.
4.	Различное денежное выражение показателя	Пересчет в единые, неизменные цены с помощью дополнительно определяемого индекса цен.
5.	Различная структура статистических совокупностей	Пересчет данных по одинаковой структуре (стандартизация).
6.	Несопоставимость итоговых (суммарных) показателей	В отдельных случаях, возможно: - сопоставление по средним показателям; -использование метода группировок.
7.	Различные показатели, выраженные в абсолютных величинах	Расчет относительных величин динамики (темпов роста или прироста) для каждого ряда, а затем их сопоставление (прием приведения к единому основанию).
8.	Несопоставимость ввиду возникших за исследуемый период качественных различий в изучаемом предмете	Перегруппировка динамического ряда и создание нескольких рядов динамики, или определение специального коэффициента пересчета.

Корреляционную зависимость между последова­тельными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно измерить с помощью линейного ко­эффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Одна из рабочих формул для расчета коэффициента корреля­ции имеет вид:

В качестве переменной xмы рассмотрим ряд у₂, у₃ ,..., y₈; в ка­честве переменной у - ряд у₁ у₂..., у₇. Тогда приведенная выше формула примет вид

 

где

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда t и t - 1, т. е. при лаге 1.

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреля­ции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент авто­корреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями у _t и y_t-₁ и определяется по формуле

 

где

 

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорре­ляции, уменьшается. Некоторые авторы считают целесообраз­ным для обеспечения статистической достоверности коэффици­ентов автокорреляции использовать правило — максимальный лаг должен быть не больше (n/4).

Свойства коэффициента автокорреляции. Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по ко­эффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, па­раболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокор­реляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уров­нях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уров­ней первого, второго и т. д. порядков называют автокорреляцион­ной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) на­зывается коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы поз­воляет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между теку­щим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т. е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограм­мы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреля­ции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенден­цию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорре­ляции порядка τ, ряд содержит циклические колебания с перио­дичностью в τ моментов времени. Если ни один из коэффициен­тов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний и имеет структуру, сходную со структурой ряда, изображенного на рис. 5.1 в), либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреля­ционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компонен­ты (T) и циклической (сезонной) компоненты (S).

Тренд - это долговременная компонента временного ряда. Она характеризует основную тенденцию его развития, при этом ос­тальные компоненты рассматриваются только как мешающие процедуре его определения. При наличии ряда наблюдаемых значений для различных моментов времени следует найти под­ходящую трендовую кривую, которая сгладила бы остальные колебания.            

В социально-экономических рядах динамики можно наблюдать тенденции трех видов:

• среднего уровня (аналитически выражается с по­мощью математической функции, вокруг которой варьируют фактические уровни исследуемого явления);

• дисперсии (представляет собой тенденцию измене­ния отклонений между эмпирическими уровнями и детерминиро­ванной компонентной ряда);

• автокорреляции (тенденция изменения связи между отдельными уровнями ряда динамики).

Однако прежде чем перейти к выделению тренда,следует проверить гипотезу о том, существует ли он вообще. Отсутствие основной тенденции (тренда) означает неизменность среднего уровня ряда во времени.

В настоящее время известно около десятка критериев для проверки наличия тренда, различающихся как по мощности, так и по сложности математического аппарата.

Методы проверки:

- проверка существенности разности средних;

 - критерий серий, основанный на медиане выборки;

- критерий «восходящих и нисходящих» серий  и др.

Одним из наиболее распространенных способов моделирова­ния тенденции временного ряда является построение аналитиче­ской функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим вы­равниванием временного ряда.

Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные ви­ды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

• линейный тренд:     

• гипербола: = a + b/t;

• экспоненциальный тренд: = е^{а + bt1};

- логарифмическая форма тренда

• парабола второго и более высоких порядков

Существует несколько подходов к анализу структуры времен­ных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания. Простейший подход — расчет значений сезонной компонен­ты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда. Общий вид адди­тивной модели следующий:

Y = T + S + E

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ря­да может быть представлен как сумма трендовой (7), сезонной (S) и случайной (E) компонент. Общий вид мультипликативной мо­дели выглядит так:

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой (7), сезонной (S) и случайной (Е) компонент. Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоян­на, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значе­ния сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрас­тает или уменьшается, строят мультипликативную модель вре­менного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от зна­чений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сво­дится к расчету значений T, S и Ε для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней. Для этого:

a) просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре периода со сдвигом на один момент времени и определим условные показатели;

b) разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие

c) приведем эти значения в соответствие с фактическими момен­тами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних — центрированные скользящие средние.

2. Расчет значений сезонной компоненты S.

3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных (Т+ Е) в аддитивной или (ТЕ) в мультипликативной модели.

4. Аналитическое выравнивание уровней (Т+ Е) или (Τ· Ε) и расчет значений Τ с использованием полученного уравнения тренда.

5. Расчет полученных по модели значений (Т + S) или (Т· S).

6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Если полученные значения ошибок не содержат автокорреля­ции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок Ε для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

7. Прогнозирование. Прогнозное значение F_t уровня временного ряда в аддитив­ной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент.

Прогнозное значение F_t уровня временного ряда в мульти­пликативной модели есть произведение трендовой и сезонной компонент.

От сезонных и циклических колебаний следует отличать едино­временные изменения характера тенденции временного ряда вы­званные структурными изменениями в экономике или иными фак торами. В этом случае, начиная с некоторого момента времени t*, происходит изменение характера динамики изучаемого показателя, что приводит к изменению параметров тренда, описывающего эту динамику.

Если это влияние значимо, то для моделирования тенденции данного временного ряда следует использовать кусочно-линейные модели регрессии, т. е. разделить исходную совокупность на две подсовокупности (до момента времени t* и после момента t*) и построить отдельно по каждой подсовокупности уравнения линейной регрессии. Если структурные изменения незначительно повлияли на характер тенденции ряда y_t, то ее можно описать с помощью единого для всей совокупности данных уравнения тренда.

Каждый из описанных выше подходов имеет свои положи­тельные и отрицательные стороны. Очевидно, что выбор одной из двух моделей (кусочно-линейной или единого уравнения тренда) будет зависеть от соот­ношения между снижением остаточной дисперсии и потерей числа степеней свободы при переходе от единого уравнения рег­рессии к кусочно-линейной модели.

Формальный статистический тест для оценки этого соотно­шения был предложен Грегори Чоу. Применение этого теста предполагает расчет параметров уравнений трендов. Выдвинем гипотезу Н₀ о структурной стабильности тенден­ции изучаемого временного ряда.

Остаточную сумму квадратов по кусочно-линейной модели  можно найти как сумму С¹_ост и С²_ОСТ:

 

Соответствующее ей число степеней свободы составит:

 

Тогда сокращение остаточной дисперсии при переходе от единого уравнения тренда к кусочно-линейной модели можно определить следующим образом²:

 

Число степеней свободы, соответствующее с учетом со­отношения будет равно:  

 

Далее в соответствии с предложенной Г. Чоу методикой опре­деляется фактическое значение F-критерия по следующим дис­персиям на одну степень свободы вариации:

 

Найденное значение F_факт сравнивают с табличным, получен­ным по таблицам распределения Фишера для уровня значимости α и числа степеней свободы (к₁ + к₂ - к₃) и (п-к₁ - к₂).

Если F _факт > F_Ta6л , то гипотеза о структурной стабильности тенденции отклоняется, а влияние структурных изменений на динамику изучаемого показателя признают значимым. В этом случае моделирование тенденции временного ряда следует осу­ществлять с помощью кусочно-линейной модели. Если F _факт < F_Ta6л, то нет оснований отклонять ноль-гипотезу о струк­турной стабильности тенденции. Ее моделирование следует осу­ществлять с помощью единого для всей совокупности