Метод наименьших квадратов (МНК) в скалярной форме

Используя уравнение регрессии (3.1), запишем функцию цели Ф, характеризующую качество аппроксимации объясненной части Y_e=M_x(Y) уравнением регрессии:

                                                     (3.2)

Это задача безусловной оптимизации, т.е требуется найти такие оптимальные значения вектора параметров уравнения регрессии, которые доставляют минимум функции цели Ф.

Замечание 3: Для простоты далее считаем, что в уравнении регрессии каждый входной фактор x_j предоставлен одним членом суммы со своей базисной функцией f_j (x_j), т.е. a º j.

В теории регрессионного анализа показано, что функция Ф непрерывна и строго выпукла по аргументам b_j. Тогда ее минимум обеспечивается условием

                                                                           (3.3)

Система (3.3) называется системой нормальных уравнений. Если вектор  входит в модель линейно, то эта система представляет собой линейные алгебраические уравнения относительно искомых параметров {bj}, j=  .

Замечание 4: Под линейным вхождением { bj }, в модель понимается, что сами координаторные функции { f_j (x_j)} могут быть нелинейными, но они не должны содержать ни одного оцениваемого параметра bj.

Пример:

Здесь обе модели нелинейны по независимой переменной х. Однако вторая модель линейна по искомому параметру b₀, в тоже время как в первой модели параметр b₁ входит в структуру модели нелинейно. Такие модели называются иногда «криволинейными» [11].

Если система нормальных уравнений есть система линейных алгебраических уравнений, то для ее решения можно использовать аппарат линейной алгебры и, соответственно, матричную форму метода наименьших квадратов [5].