Момент импульса. Закон сохранения момента импульса

Момент импульса тела. Изменение момента импульса тела. Импульс момента силы. Закон сохранения момента импульса.

.                                               (3.13)

.                                                       (1.26)

Из (3.13) и (1.26):

.

Если , то . Введём момент импульса  твёрдого тела как

;                                                   (3.23)

тогда

.                                                (3.24)

Соотношение (3.24) – это основной закон динамики твёрдого тела для вращательного движения. Его можно переписать так:

,                                                   (3.24)

и тогда это будет аналог второго закона Ньютона для поступательного движения в импульсной форме (2.5)

.                                                      (2.5)

А можно (3.24) проинтегрировать:

                                                 (3.25)

и сформулировать закон изменения момента импульса: изменение момента импульса тела равно импульсу суммарного момента внешних сил. Величина  называется импульсом момента силы и аналогична импульсу силы  в формулировке второго закона Ньютона для поступательного движения (2.2) ; момент импульса  является аналогом импульса .

Размерность момента импульса

.

Момент импульса твёрдого тела относительно его оси вращения – это вектор, направленный по оси вращения по правилу буравчика.

Момент импульса материальной точки относительно точки О (рис.3.6) – это:

,                                            (3.26)

где – радиус-вектор материальной точки,  – её импульс. Вектор момента импульса  направлен по правилу буравчика перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и : на рис.3.7 – к нам из-за рисунка. Величина момента импульса

.

Твёрдое тело, вращающееся относительно оси, разобьём на элементарные массы и просуммируем по всему телу моменты импульса каждой массы (то же самое можно записать в виде интеграла; это непринципиально):

Рис.3.7

.

Поскольку угловая скорость всех точек одинакова и направлена по оси вращения, то можно записать в векторной форме:

.                            (3.23)

Таким образом, доказана эквивалентность определений (3.23) и (3.26).

Если суммарный момент внешних сил равен нулю, то момент импульса системы не изменяется (см.3.25):

. Это закон сохранения момента импульса. Это возможно, когда:

а) система замкнута (или );

б) у внешних сил нет касательных составляющих (вектор силы проходит через ось/центр вращения);

в) внешние силы параллельны закреплённой оси вращения.

Примеры использования/действия закона сохранения момента импульса:

1. гироскоп;

2. скамья Жуковского;

3. фигуристка на льду.