Молекулы воздуха в атмосфере Земли распределены неравномерно. С одной стороны, газ стремится занять весь предоставленный объём, с другой – действует притяжение к Земле. В результате действия этих двух конкурирующих факторов:
1) теплового движения;
2) притяжения Земли
устанавливается стационарное распределение молекул по высоте. Давление газа с высотой уменьшается по некоторому закону. Найдём его, предполагая, что:
1) газ – идеальный (подчиняется уравнению Менделеева-Клапейрона);
2) температура постоянна: ;
3) поле тяготения однородно: .
Рассмотрим вертикальный столб газа с площадью основания (рис.6.12). Давление на высоте обозначим ; на высоте давление равно (очевидно, ). На слой толщиной и массой , находящийся в равновесии, действуют силы:
1) – сила тяжести, её величину можно выразить через плотность газа и объём слоя :
;
2) – сила давления на высоте , направлена сверху вниз;
3) – сила давления на высоте , направлена снизу вверх.
Рис.6.12 |
|
|
,
или в проекциях на вертикальную ось:
. (6.53)
Тогда
.
Далее, после сокращения:
. (6.54)
Газ – идеальный; запишем уравнение Менделеева-Клапейрона:
, тогда из (6.54): .
Последнее уравнение проинтегрируем по высоте, учтя, что и :
;
(6.54)
Поскольку , то
. (6.54а)
Это – барометрическая формула, показывающая, как давление уменьшается с высотой в поле силы тяжести.
Используя барометрическую формулу, найдём закон уменьшения концентрации молекул с высотой. Поскольку для идеального газа , , а произведение – потенциальная энергия молекулы в поле силы тяжести, то
. (6.55)
Полученное для молекул в однородном поле силы тяжести распределение Больцмана (6.55) универсально: годится для частиц, находящихся в любом потенциальном поле. Из (6.55) найдём отношение концентраций и частиц в двух точках 1 и 2:
. (6.56)
Величина показывает, во сколько раз отличаются концентрации частиц в двух точках потенциального поля, если их потенциальные энергии отличаются на . Знак «минус» в (6.56) означает, что концентрация больше в тех точках, где потенциальная энергия меньше: всякая система с большей вероятностью будет находится в состоянии с наименьшей потенциальной энергией.
Распределение (6.56) – это распределение частиц по координатам, потому что потенциальная энергия зависит от координат частицы: . Можно объединить распределения по скоростям и по координатам. Пусть – доля частиц с координатами:
|
|
;
;
;
и с проекциями скоростей:
;
;
;
тогда по закону умножения вероятностей из (6.43) и (6.56):
,
где – полная энергия частицы.
Билет