Столкновения молекул. Средняя длина свободного пробега. Эффективный диаметр молекул

Молекулы газа движутся хаотически и сталкиваются между собой. Пусть λ – длина свободного пробега молекулы между двумя последовательными столкновениями; λ – случайная величина. Введём её усреднённое значение: . Средняя продолжительность свободного пробега (среднее время между двумя последовательными столкновениями) можно выразить через среднюю длину свободного пробега и среднюю арифметическую скорость молекул :

. (7.1)

Рис.7.1

Представим траекторию молекулы как ломаную, составленную из отрезков: молекула между столкновениями летит прямолинейно и в среднем проходит путь, равный

, а каждый излом соответствует столкновению, когда молекула меняет направление движения (рис.7.1).

Среднее число столкновений молекулы за секунду будет равно числу изломов на длине пути, равной , так как путь, пройденный молекулой за 1 секунду, равен в среднем :

. (7.2)

Рис.7.2

Найдём выражения для

и для

. При этом примем следующую модель: молекулы считаем упругими шариками диаметром d. При столкновениях таких молекул их центры могут сблизиться на минимальное расстояние, равное d (рис. 7.1). Молекулы – не шарики, однако понятие эффективного диаметра для них можно ввести: эффективный диаметр молекулы

– это минимальное расстояние, на которое могут сблизиться при столкновении центры двух молекул. Эффективный диаметр имеет порядок величины 10^-10 м. Он немного зависит от температуры: при увеличении температуры кинетическая энергия сталкивающихся молекул больше, и приблизиться они друг к другу могут на более короткое расстояние.

Введём ещё одно определение. Эффективное сечение молекулы равно

(7.3)

то есть площадь круга с радиусом, равным эффективному диаметру молекулы , называется эффективным сечением. Если описать вокруг молекулы сферу радиусом , то внутрь этой сферы не сможет попасть центр другой молекулы (рис.7.3). Сечение такой сферы и есть эффективное сечение .

Чтобы определить среднее число столкновений молекулы с другими в единицу времени , сначала рассмотрим движение одной молекулы среди неподвижных молекул. Траектория нашей движущейся молекулы – ломаная линия. Опишем вокруг траектории цилиндр так, что ось цилиндра совпадает с траекторией молекулы, а радиус равен . Площадь его основания равна . Цилиндр – тоже ломаный (рис.7.4).

Столкновение произойдёт, если центр какой-либо молекулы попадёт в этот ломаный цилиндр. За время путь молекулы равен ; это – длина цилиндра. Объём цилиндра равен . Число молекул, центры которых попали в цилиндр, равно ; это и есть число столкновений нашей молекулы с другими за время . За единицу времени число столкновений будет равно

Рис.7.3

Рис.7.4

. (7.4)

Если молекулы движутся, в (7.4) надо заменить среднюю скорость на среднюю относительную скорость, тогда:

. (7.5)

Относительная скорость – скорость первой молекулы относительно второй – равна:

, (7.6)

где и – скорости первой и второй молекул соответственно. Возведём (7.6) в квадрат и усредним:

Здесь – угол между векторами и ; , поскольку угол может принимать любые значения с равной вероятностью из-за хаотичности движения молекул. Кроме того, , тогда , и среднеквадратичная относительная скорость